احتمالية الظلام لمدة 15 ثانية (مسألة رياضيات)

في أعلى برج المراقبة يوجد مصباح بحث يقوم بثلاث دورات في الدقيقة. ما هي احتمالية أن يظل الشخص الذي يظهر بالقرب من البرج في الظلام لمدة لا تقل عن 15 ثانية؟

لحساب ذلك، أولاً نحدد الفترة الزمنية التي يستغرقها المصباح لإجراء دورة كاملة. إذاً، فإن الفترة الزمنية للدورة الواحدة تكون 60 ثانية ÷ 3 دورات = 20 ثانية لكل دورة.

الآن، نريد أن نعرف احتمالية أن يظل الشخص في الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر. لنقم بحساب عدد الثواني التي يبقى فيها الشخص في الظلام لكل دورة:

20 ثانية – 15 ثانية = 5 ثوانٍ.

إذاً، الشخص سيبقى في الظلام لمدة 5 ثوانٍ في كل دورة. الآن، يمكننا حساب عدد الطرق التي يمكن للشخص أن يظل فيها في الظلام لفترة 15 ثانية أو أكثر خلال دورة واحدة:

5 ثوان × 3 = 15 ثانية.

لكن هذا لا يكفي، لأننا نريد أن يظل الشخص في الظلام لمدة لا تقل عن 15 ثانية في أكثر من دورة واحدة. لذا، يمكن أن يظل في الظلام لمدة 15 ثانية في الدورة الأولى أو الثانية أو الثالثة.

نحتاج إلى استخدام المفهوم الرياضي للاحتمالات، ونستخدم الاحتمال المعاكس. إذا كان الاحتمال أن يظل الشخص في الظلام لأكثر من دورة هو 1 – الاحتمال أن يظل في الظلام لدورة واحدة:

1 – (1 – احتمال الظلام لدورة واحدة) = 1 – (1 – 15/20) = 1 – 0.25 = 0.75.

إذاً، الاحتمال أن يظل الشخص في الظلام لمدة لا تقل عن 15 ثانية هو 0.75، أو 75%.

لحساب احتمال أن يظل الشخص في الظلام لمدة لا تقل عن 15 ثانية، سنستخدم قوانين الاحتمال. سنقوم بتفصيل الحل بالتفصيل، مع الإشارة إلى القوانين المستخدمة.

في هذه المسألة، نريد أن نحسب احتمال أن يظل الشخص في الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر. لنبدأ بحساب الفترة الزمنية الكلية لدورة واحدة للمصباح. نعلم أن المصباح يقوم بثلاث دورات في الدقيقة، لذا:

الفترة الزمنية للدورة الواحدة = 60 ثانية / 3 دورات = 20 ثانية.

الآن، نريد حساب احتمال أن يظل الشخص في الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر في دورة واحدة. نستخدم قانون الاحتمالات:

$P(\text{الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر في دورة واحدة}) = 1 – P(\text{الضوء لمدة أقل من 15 ثانية في دورة واحدة})$

$= 1 – P(\text{الظلام لمدة أقل من 5 ثوانٍ في دورة واحدة})$

$= 1 – P(\text{الظلام لمدة 5 ثوانٍ في دورة واحدة})^3$

حيث أننا قمنا برفع الاحتمال للظلام لمدة 5 ثوانٍ في دورة واحدة إلى القوة الثالثة لأننا نريد أن يحدث هذا في أي من الثلاث دورات.

الآن، نحسب قيمة $P(\text{الظلام لمدة 5 ثوانٍ في دورة واحدة})$:

$P(\text{الظلام لمدة 5 ثوانٍ في دورة واحدة}) = \frac{\text{الفترة الزمنية للظلام لمدة 5 ثوانٍ}}{\text{الفترة الزمنية للدورة الواحدة}}$

$= \frac{5}{20} = 0.25$

الآن، نستخدم هذه القيمة في الصيغة السابقة:

$P(\text{الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر في دورة واحدة}) = 1 – 0.25^3$

$= 1 – 0.25 \times 0.25 \times 0.25$

$= 1 – 0.015625$

$\approx 0.984375$

إذاً، الاحتمال أن يظل الشخص في الظلام لمدة 15 ثانية أو أكثر في دورة واحدة هو حوالي 0.984 أو 98.4%.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الاحتمال الكلي.
2. قانون الاحتمال المعاكس.