احتمالية الرؤوس في رمي 8 عملات (مسألة رياضيات)

إذا قمنا برمي 8 عملات في وقت واحد، ما هي احتمالية الحصول على رؤوس (heads) في أكثر من مرة واحدة، ولكن لا تتجاوز مرتين؟

للإجابة على هذا السؤال، يمكننا استخدام التوزيع البنوميالي (binomial distribution). لدينا 8 عملات، وكل عملة لديها احتمال 0.5 للحصول على رؤوس (نفترض أن القمة والعد التي ظهرت على القاعة تعتبر رأسًا).

إذا كان X هو عدد الرؤوس التي نحصل عليها في 8 رميات، فإن توزيع X يمكن تمثيله بواسطة توزيع بنوميالي بمعدل نجاح p = 0.5 وعدد المحاولات n = 8.

الاحتمالية للحصول على صفر رأس أو رأس واحد أو رأسين هي مجموع الاحتماليات لهذه القيم. لذا، نحسب:

$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

حيث:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

حيث $\binom{n}{k}$ هو عامل الاختيار ويمثل عدد الطرق التي يمكن أن نحصل بها على k نجاحات في n محاولة.

للحل، نقوم بحساب كل قيمة بناءً على الصيغة السابقة ونجمع النتائج:

$P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^8$
$P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^7$
$P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^6$

ثم نجمع هذه القيم:

$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

وبهذا نحصل على الإجابة النهائية لاحتمالية الحصول على رؤوس بحد أقصى مرتين عند رمي 8 عملات.

لحل مسألة احتمالية الحصول على رؤوس بحد أقصى مرتين عند رمي 8 عملات، نستخدم التوزيع البنوميالي ونعتمد على القوانين التالية:

1. توزيع بنوميالي (Binomial Distribution):
   يُستخدم هذا التوزيع لحساب احتمالات حدوث عدد معين من النجاحات في عدد ثابت من التجارب الاستقلالية، حيث يكون لكل تجربة احتمال نجاح ثابت p.

   صيغة احتمال حدوث k نجاحات في n تجربة:
   $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
   حيث $\binom{n}{k}$ هو عامل الاختيار ويُحسب بصيغة:
   $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

2. قاعدة الجمع:
   عندما نريد حساب احتمال حدوث إحدى الأحداث المتفرقة، نقوم بجمع الاحتماليات لكل حدث.

للحصول على احتمال الحصول على رؤوس بحد أقصى مرتين عند رمي 8 عملات، نستخدم الصيغ التالية:

$P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^8$
$P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^7$
$P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^6$

ثم نستخدم قاعدة الجمع لجمع هذه القيم:

$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

يُحسب $\binom{n}{k}$ كما يلي:

$\binom{8}{0} = 1, \quad \binom{8}{1} = 8, \quad \binom{8}{2} = 28$

بعد ذلك، نقوم بحساب القيم:

$P(X = 0) = 1 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^8 = 0.0039$
$P(X = 1) = 8 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^7 = 0.0313$
$P(X = 2) = 28 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^6 = 0.1094$

ثم نجمع هذه القيم:

$P(X \leq 2) = 0.0039 + 0.0313 + 0.1094 = 0.1446$

إذا، احتمالية الحصول على رؤوس بحد أقصى مرتين عند رمي 8 عملات هي 0.1446 أو 14.46%.