احتمالية الحصول على ناتج فردي (مسألة رياضيات)

العملية # هي جمع الأرقام في العدد حتى يتبقى رقم واحد فقط. ما هي الاحتمالية التي يكون ناتج # رقمًا فرديًا للعدد المُختار من بين أول 90 عددًا صحيحًا؟

لنبدأ بفهم العملية: إذا كان لدينا عددًا مكونًا من أرقام، سنقوم بجمعها حتى نحصل على رقم واحد. على سبيل المثال، إذا كان العدد 99، فإننا نقوم بجمع 9 و 9 لنحصل على 18، ثم نقوم بجمع 1 و 8 لنحصل على 9، وهو الرقم الذي نبحث عنه.

لنحسب الاحتمالية الطلوبة، يمكننا التفكير في الأعداد من 1 إلى 90. في البداية، لنلاحظ أن هناك تسعة أرقام فردية في هذا النطاق وهي: 1، 3، 5، 7، 9، 19، 39، 59، 79.

الآن، لنفكر في كيفية اختيار الأرقام التي تؤدي إلى ناتج # فردي. لكي يكون الناتج فرديًا، يجب أن يكون العدد المختار يحتوي على عدد فردي من الأرقام الفردية المذكورة أعلاه. لدينا تسعة أرقام فردية ونحن نختار عددًا من بين 90 عددًا، لذا الاحتمالية تكون:

$\frac{\text{عدد الطرق لاختيار عدد فردي من التسعة الأرقام الفردية} \times \text{عدد الطرق لاختيار الأرقام الباقية من بين الأرقام الفردية والأرقام الزوجية المتبقية}}{\text{إجمالي عدد الطرق لاختيار عدد من بين 90 عددًا}}$

عدد الطرق لاختيار عدد فردي من التسعة الأرقام الفردية هو 9، وعدد الطرق لاختيار الأرقام الباقية هو $2^{n-1}$، حيث n هو عدد الأرقام المتبقية. لدينا 90 – 9 = 81 عددًا باقيًا، لذا:

$\frac{9 \times 2^{81}}{90}$

الآن يمكن حساب هذا المقدار للحصول على الإجابة النهائية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ الاحتمالات. دعونا نبدأ بتحديد القوانين والخطوات التي سنستخدمها:

1. تعريف العملية #: هي عملية جمع الأرقام في العدد حتى يتبقى رقم واحد.

2. تحديد الأرقام الفردية: نحن بحاجة إلى معرفة الأرقام الفردية في النطاق من 1 إلى 90. هذه الأرقام هي: 1، 3، 5، 7، 9، 19، 39، 59، 79.

3. حساب عدد الطرق لاختيار عدد فردي من الأرقام الفردية: في هذه الحالة، هناك 9 أرقام فردية، لذا عدد الطرق لاختيار واحد منها هو 9.

4. حساب عدد الطرق لاختيار الأرقام الباقية: لدينا 81 عددًا باقيًا (90 – 9)، وهنا يتم استخدام قاعدة القوة حيث يمكننا اختيار أو عدم اختيار كل رقم. لذا عدد الطرق هو $2^{81}$.

5. حساب الاحتمالية الكلية: الاحتمالية هي عدد النتائج المرجوة على عدد النتائج الممكنة. في هذه الحالة، النتائج المرجوة هي أن يكون الناتج فرديًا، وعدد النتائج الممكنة هو إجمالي عدد الأرقام الممكن اختيارها من بين 90 عددًا.

6. استخدام الصيغة: الاحتمالية = $\frac{\text{عدد الطرق لاختيار عدد فردي من الأرقام الفردية} \times \text{عدد الطرق لاختيار الأرقام الباقية}}{\text{إجمالي عدد الطرق لاختيار عدد من بين 90 عددًا}}$.

الآن دعونا نحسب القيم:

$\text{عدد الطرق لاختيار عدد فردي من الأرقام الفردية} = 9$

$\text{عدد الطرق لاختيار الأرقام الباقية} = 2^{81}$

$\text{إجمالي عدد الطرق لاختيار عدد من بين 90 عددًا} = 90$

$\text{الاحتمالية} = \frac{9 \times 2^{81}}{90}$

هذه هي الخطوات المستخدمة في حل المسألة، وتمثل القوانين الأساسية المستخدمة قوانين الاحتمالات وقوانين العد البسيط.