احتمالية الحصول على ملك الألماس (مسألة رياضيات)

الدورة القياسية للبطاقات تحتوي على 52 بطاقة، مع وجود X ترتيبات (آس، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، جاك، كوين، كينغ) و 4 نُمُط (١). الشكلات ($\spadesuit$ و $\clubsuit$) والنمطان الآخران ( $\heartsuit$ و $\diamondsuit$)، بحيث يكون هناك بالضبط بطاقة واحدة لأي ترتيب ونمط معين. تعتبر بطاقتا الشكلات ($\spadesuit$ و $\clubsuit$) سوداويتين، في حين أن النمطين الآخرين ($\heartsuit$ و $\diamondsuit$) حمراوين. تم ترتيب الدورة عشوائيًا.

السؤال هو: ما هي احتمالية أن تكون البطاقة العليا في الدورة هي ملك $\diamondsuit$؟

إذا كنا نعلم أن إجابة السؤال أعلاه هي $\frac{1}{52}$، فما هو قيمة المتغير المجهول X؟

الإجابة:
احتمالية أن تكون البطاقة العليا ملك $\diamondsuit$ تكون $\frac{1}{52}$، وهذا يعني أن هناك بطاقة واحدة فقط في الدورة لها هذا الترتيب والنمط. إذاً، إذا كان هناك بطاقة واحدة فقط من هذا النوع، فإن X يجب أن يكون 13 (لأن هناك 13 ترتيب مختلف للبطاقات في الدورة تبدأ من الآس حتى الملك).

باختصار، X = 13.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم احتمال الحدوث وعلى القوانين الأساسية لحساب الاحتمالات.

1. مفهوم احتمال الحدوث:
   احتمال حدوث حدث معين يُعبر عن نسبة عدد النتائج المرغوبة من بين النتائج الكلية الممكنة. في هذه المسألة، الحدث هو أن تكون البطاقة العليا في الدورة هي ملك $\diamondsuit$.

2. القانون المستخدم:
   نستخدم قانون الاحتمالات لحساب الاحتمال في هذه الحالة. إذا كان لدينا حدث واحد يحدث بشكل معين، فإن الاحتمال يُحسب كالتالي:
   $P(\text{الحدث}) = \frac{\text{عدد النتائج المرغوبة}}{\text{النتائج الكلية الممكنة}}$

   في هذه المسألة، نريد حدوث حدث واحد وهو أن تكون البطاقة العليا ملك $\diamondsuit$، لذلك:
   $P(\text{ملك }\diamondsuit) = \frac{1}{\text{عدد البطاقات الكلي في الدورة}}$

   حيث أن البطاقات الكلية في الدورة هي 52 بطاقة.

3. الحل:
   الآن، سنقوم بحساب الاحتمال:
   $P(\text{ملك }\diamondsuit) = \frac{1}{52}$

   إذا كنا نعلم أن هذا الاحتمال هو الجواب للسؤال، فإن القيمة المجهولة X هي عدد الترتيبات المختلفة لتلك البطاقة في الدورة.

   يُعبر عن هذا العدد بـ X، لذلك:
   $X = \text{عدد الترتيبات المختلفة للملك }\diamondsuit$

   ونعلم أن هناك 13 ترتيبًا مختلفًا للبطاقات في أي نمط (من الآس إلى الملك).

   إذاً:
   $X = 13$

   لأن الملك هو آخر بطاقة في الترتيب.

بهذا، نكون قد حللنا المسألة باستخدام مفهوم احتمال الحدوث وقوانين حساب الاحتمالات.