احتمالية الحصول على رأس واحد على الأقل في رمي ثلاث عملات (مسألة رياضيات)

ما هي احتمالية أن يحصل محمود على رأس واحد على الأقل عندما يقوم برمي ثلاث عملات؟

لنقم بحساب الاحتمالات. عند رمي عملة واحدة، هناك احتمالية 1/2 للحصول على رأس واحد (نظرًا لوجود رأس واحد على كل عملة). إذاً، هذا يعني أن هناك احتمالية مقدارها 1/2 للحصول على شيء ما (رأس) في كل رمية.

لكن السؤال يطلب منا معرفة الاحتمالية للحصول على رأس واحد على الأقل، مما يعني أنه يمكن أن نحصل على رأس واحد، أو رأسين، أو ثلاثة أرواح.

لحساب هذا، يمكننا استخدام الاحتمال المتعارف عليه كاحتمال تكرار الأحداث المستقلة، وهو الاحتمال الإجمالي يساوي مجموع الاحتمالات للنتائج المطلوبة.

لدينا ثلاث عملات، ولكل عملة اثنان من النتائج المحتملة: رأس أو شمس. لذا، إجمالي النتائج المحتملة هو 2 * 2 * 2 = 8.

الآن، لنحسب عدد الطرق التي يمكن أن يحدث فيها الحصول على رأس واحد على الأقل. يمكننا تقدير ذلك بأن نجد الاحتمالات العكسية، أي الاحتمالات التي لا تحدث الحصول على رأس واحد على الإطلاق، ومن ثم نطرحها من الإجمالي (1).

لكنه من الأسهل حساب الاحتمالات التي لا تحقق مطلقاً رأس واحد ومن ثم طرحها من الإجمالي. لاحظ أن النتائج التي لا تحقق رأس واحد هي كل الأحتمالات باستثناء رؤوس الثلاث على الأقل.

يوجد 1 طريقة فقط للحصول على كل شمس، وهي الاحتمال الأقل والمرجحة لعدم حدوث رأس واحد على الأقل.

إذاً، الاحتمال المطلوب يساوي 1 – (1/2 * 1/2 * 1/2) = 1 – 1/8 = 7/8.

إذاً، فإن الاحتمالية التي يحصل فيها محمود على رأس واحد على الأقل عندما يقوم برمي ثلاث عملات هي 7/8.

في حل هذه المسألة، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الاحتمالات. دعونا نفصل الحل بتفاصيل أكثر ونذكر القوانين المستخدمة:

1. مفهوم الأحداث المستقلة: عندما نقول أن رمي العملات مستقل عن بعضها، فإن نتيجة كل رمية لا تتأثر بنتائج الرميات السابقة.

2. قانون الإحتمال العكسي: إذا كان لدينا احتمالات لحدوث حالة معينة، يمكننا حساب احتمال حدوث حالة معاكسة لها باستخدام الإحتمال العكسي (1 – احتمال الحالة المطلوبة).

3. قانون ضرب الاحتمالات للأحداث المستقلة: إذا كانت الأحداث مستقلة، يمكننا حساب الاحتمال الإجمالي لحدوث مجموعة من الأحداث بضرب الاحتمالات الفردية لكل حدث.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة كما يلي:

نريد حساب الاحتمالية للحصول على رأس واحد على الأقل من ثلاث رميات للعملة. لحساب ذلك، نبدأ بحساب الاحتمالات المعاكسة، أي الاحتمالات التي لا تحدث فيها الحالة المطلوبة.

إذاً، لا يحصل على رأس واحد على الأقل إذا حدثت الحالات التالية:

1. العملة الأولى تظهر شمس.
2. العملة الثانية تظهر شمس.
3. العملة الثالثة تظهر شمس.

الآن، لنقم بحساب هذه الاحتمالات:

• احتمال ظهور شمس في الرمية الأولى = 1/2
• احتمال ظهور شمس في الرمية الثانية = 1/2
• احتمال ظهور شمس في الرمية الثالثة = 1/2

باستخدام قانون ضرب الاحتمالات للأحداث المستقلة، يصبح الاحتمال الإجمالي لعدم الحصول على رأس واحد على الأقل:

$P(\text{No heads}) = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/8$

الآن، باستخدام الإحتمال العكسي، يمكننا حساب الاحتمالية للحصول على رأس واحد على الأقل:

$P(\text{At least one head}) = 1 – P(\text{No heads}) = 1 – 1/8 = 7/8$

إذاً، الاحتمالية التي يحصل فيها محمود على رأس واحد على الأقل عندما يقوم برمي ثلاث عملات هي 7/8.