احتمالية الأعداد الأولية: حل مسألة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي:

اختيار رقمين طبيعيين مختلفين من المجموعة {1، 2، X، …، 6}. ما هي احتمالية أن يكون أكبر مشترك لهما هو واحد؟

لحساب هذه الاحتمالية، يجب علينا أولاً أن نحدد كل الأزواج الممكنة من الأعداد في المجموعة المعطاة ومن ثم نحسب عدد الأزواج التي يكون أكبر مشترك لها هو واحد.

المجموعة المعطاة: {1، 2، X، 3، 4، 5، 6}

نلاحظ أن الأزواج التي يمكن تكوينها هي:
(1, 2)، (1, X)، (1, 3)، (1, 4)، (1, 5)، (1, 6)، (2, X)، (2, 3)، (2, 4)، (2, 5)، (2, 6)، (X, 3)، (X, 4)، (X, 5)، (X, 6)، (3, 4)، (3, 5)، (3, 6)، (4, 5)، (4, 6)، (5, 6)

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الأزواج التي يكون أكبر مشترك لها هو واحد. في حالة أزواج الأعداد الطبيعية، يكون أكبر مشترك لهما هو العدد واحد إذا كانوا متباينين.

إذاً، الأزواج التي يكون أكبر مشترك لها هو واحد هي:
(1, 2)، (1, 3)، (1, 4)، (1, 5)، (1, 6)، (2, 3)، (2, 4)، (2, 5)، (2, 6)، (3, 4)، (3, 5)، (3, 6)، (4, 5)، (4, 6)، (5, 6)

إجمالاً، هناك 15 زوجًا من الأعداد حيث يكون أكبر مشترك لهما هو واحد. وعدد كل الأزواج الممكنة هو 21 زوجًا.

إذاً، الاحتمالية هي عدد الأزواج التي يكون فيها أكبر مشترك هو واحد مقسومة على إجمالي عدد الأزواج الممكنة:

$\text{الاحتمالية} = \frac{15}{21}$

يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى أقل صورة، وهو:

$\text{الاحتمالية} = \frac{5}{7}$

إذاً، الإجابة النهائية هي أن الاحتمالية هي $\frac{5}{7}$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الأعداد الأولية والقوانين المتعلقة بها. سنركز على فهم القوانين والخطوات المتبعة للحصول على الإجابة.

القوانين المستخدمة:

1. أعداد العدد الأولي: عند اختيار رقمين مختلفين من مجموعة الأعداد الأولية (الطبيعية)، يكون أكبر مشترك لهما هو واحد إذا كانوا متباينين.

2. حساب الاحتمالية: الاحتمالية هي عدد النتائج المرجوة مقسومة على إجمالي عدد النتائج الممكنة.

الخطوات:

1. تحديد المجموعة: المجموعة المعطاة هي {1، 2، X، 3، 4، 5، 6}.

2. تحديد الأزواج الممكنة: نحدد جميع الأزواج الممكنة باختيار رقمين مختلفين من المجموعة.

3. تحديد الأزواج التي يكون فيها الأكبر مشترك هو واحد: نحدد الأزواج التي تحقق الشرط الذي هو أن يكون الأكبر مشترك هو واحد. في حالة أعداد العدد الأولي، هذا يحدث عندما تكون الأعداد متباينة.

4. حساب الاحتمالية: نحسب عدد الأزواج التي تحقق الشرط ونقسمها على إجمالي عدد الأزواج الممكنة.

التفاصيل:

أ) تحديد الأزواج الممكنة:

$(1, 2), (1, X), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, X), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (X, 3), (X, 4), (X, 5), (X, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)$

ب) تحديد الأزواج التي يكون فيها الأكبر مشترك هو واحد:

$(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)$

ج) حساب الاحتمالية:

عدد الأزواج حيث الأكبر مشترك هو واحد = 15
إجمالي عدد الأزواج الممكنة = 21

$\text{الاحتمالية} = \frac{15}{21}$

تبسيط الكسر يؤدي إلى الإجابة النهائية:

$\text{الاحتمالية} = \frac{5}{7}$

باختصار، الحل يعتمد على فهم قوانين الأعداد الأولية واستخدامها بشكل صحيح لتحديد الإجابة.