احتمالية اختيار نقطة داخل مثلث (مسألة رياضيات)

نعطي في المثلث ABC معلومات الأضلاع AB = 5، BC = X، و CA = 3. نفترض أن النقطة P تم اختيارها عشوائياً داخل المثلث ABC. نريد معرفة احتمال أن تكون النقطة P أقرب إلى C منها إلى A أو B.

إذاً، نبدأ بتحديد المنطقة التي يمكن أن تكون فيها النقطة P داخل المثلث ABC. نحدد هذه المنطقة بواسطة خطوط الارتفاع التي تمر عبر نقاط A، B، و C.

نرسم خطوط الارتفاع كما هو موضح في الرسم التوضيحي:

[asy] defaultpen(1);

pair C=(0,0), A = (0,3), B = (4,0), P = (1.5,1.5);
draw(A–B–C–cycle);
draw(P–A, dashed);
draw(P–B, dashed);
draw(P–C, dashed);

label(“$A$“,A,N);
label(“$B$“,B,E);
label(“$C$“,C,SW);
label(“$P$“,P,NE);
[/asy]

من خلال الرسم، يمكننا ملاحظة أن المثلث ABC تم تقسيمه إلى أربع مثلثات فرعية: المثلثات الصغيرة المكونة من النقطة P ونقاط A، B، و C.

لحساب الاحتمال، نحتاج إلى معرفة نسبة مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B إلى مساحة المثلث الكامل ABC.

من المعلومات الأساسية في المثلثات، نستنتج أن مساحة المثلث ABC يمكن حسابها باستخدام قانون هرون للمثلث. نتذكر أنه يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام الطولين المتجاورين وزاوية بينهما.

أما بالنسبة للمسافة بين النقطة P وكل من A و B و C، فإننا نعرف أنها عبارة عن خطوط ارتفاع. ونظرًا لأننا لا نملك قيمًا محددة لأبعاد النقطة P بعد تحديدها في المثلث، فإن مساحة المثلث الصغير الذي يحتوي على النقطة P يمكن تعبئته بأي قيمة موجبة تمثل الارتفاع من النقطة P إلى أي من الأضلاع.

لحساب الاحتمال، نحتاج إلى معرفة مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B مقارنة بمساحة المثلث الكامل ABC.

إذاً، لنحسب مساحة المثلث ABC باستخدام قانون هرون:

$S_{ABC} = \sqrt{s(s – AB)(s – BC)(s – CA)}$

حيث $s$ هو نصف محيط المثلث ABC ويُحسب كالتالي:

$s = \frac{AB + BC + CA}{2}$

وبمعرفة الأبعاد، نحسب قيمة المساحة.

ثم نقوم بتقسيم مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B على مساحة المثلث ABC للحصول على الاحتمال المطلوب.

من المعطيات، وبالتالي بمعرفة أن الاحتمال هو 1/2، يمكننا استنتاج قيمة المتغير X بتطبيق الخطوات المذكورة أعلاه لحساب مساحة المثلث والاحتمال المطلوب.

لحل المسألة المطروحة، سنقوم بتطبيق مجموعة من القوانين الهندسية ومفاهيم الاحتمالات. سنقوم بتقسيم الحل إلى خطوات متسلسلة لتوضيح العملية:

1. حساب مساحة المثلث ABC:
   نستخدم قانون هرون لحساب مساحة المثلث ABC. يتمثل هذا القانون في استخدام أطوال الأضلاع لحساب نصف محيط المثلث ومن ثم استخدامه في حساب المساحة.

2. تحديد المنطقة التي يمكن أن تكون فيها النقطة P داخل المثلث ABC:
   نستخدم خطوط الارتفاع من كل نقطة إلى الضلع المقابل لها لتحديد المنطقة التي يمكن أن تكون فيها النقطة P داخل المثلث ABC.

3. حساب مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B:
   نستخدم المفهوم الهندسي للمثلثات المماثلة لحساب نسبة مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B.

4. حساب الاحتمال:
   بعد حساب مساحة المثلث المطلوبة ومساحة المثلث ABC، نقوم بقسمة مساحة المثلث المطلوبة على مساحة المثلث ABC للحصول على الاحتمال المطلوب.

الآن، سنقوم بتطبيق القوانين والخطوات المذكورة أعلاه لحل المسألة.

1. حساب مساحة المثلث ABC:
   محيط المثلث ABC هو:
   $s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{5 + X + 3}{2} = \frac{X + 8}{2}$

   بمعرفة نصف المحيط، يمكننا حساب مساحة المثلث باستخدام قانون هرون:
   $S_{ABC} = \sqrt{s(s – AB)(s – BC)(s – CA)}$
   $S_{ABC} = \sqrt{\frac{X + 8}{2} \cdot \left(\frac{X + 8}{2} – 5\right) \cdot \left(\frac{X + 8}{2} – X\right) \cdot \left(\frac{X + 8}{2} – 3\right)}$

2. تحديد المنطقة التي يمكن أن تكون فيها النقطة P:
   نقوم برسم خطوط الارتفاع من كل نقطة إلى الضلع المقابل لها لتحديد المنطقة الممكنة التي يمكن أن تكون فيها النقطة P.

3. حساب مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C:
   لحساب مساحة المثلث الذي يحتوي على P وهو أقرب إلى C منه إلى أي من A أو B، يمكننا استخدام المثلثات المماثلة وتطبيق النسبة المناسبة.

4. حساب الاحتمال:
   نقوم بقسمة مساحة المثلث المطلوبة على مساحة المثلث ABC للحصول على الاحتمال المطلوب.

من خلال هذه الخطوات، يمكننا حساب القيمة المطلوبة للمتغير X بناءً على الاحتمال المعطى.