احتمالية اختيار مصباح معيب

الصندوق يحتوي على 22 مصباحًا كهربائيًا، من بينها 4 معيبة. يتم اختيار مصباحين بشكل عشوائي من هذا الصندوق. الاحتمال أن يكون واحد على الأقل من هذين المصباحين معيبًا هو النسبة المئوية لعدد الطرق التي يمكن فيها اختيار مصباح واحد على الأقل معيب من إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار مصباحين.

لحساب هذا الاحتمال، نستخدم المفهوم الرياضي للاحتمالات. عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار مصباح معيب وآخر غير معيب هو حاصل ضرب عدد المصابيح المعيبة في الصندوق (4) في عدد المصابيح الغير معيبة (22 – 4 = 18). نقوم بضرب هذين العددين للحصول على عدد الطرق الممكنة لاختيار مصباح واحد على الأقل معيب:

$4 \times 18 = 72$

ثم نقوم بحساب عدد الطرق الكلي لاختيار مصباحين من الصندوق، وهو حاصل ضرب عدد المصابيح الإجمالي (22) في العدد الذي يليه (21)، حيث يقل العدد بواحد في كل مرة نختار فيها مصباح:

$22 \times 21 = 462$

الآن نقسم عدد الطرق الممكنة لاختيار مصباح واحد على الأقل معيب على العدد الكلي للطرق لاختيار مصباحين:

$\frac{72}{462}$

وهذا يمثل الاحتمال النهائي. يمكن تبسيط هذا الكسر إلى الشكل الأقل تعقيدًا إذا لزم الأمر.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات وبعض القوانين المتعلقة بها. القوانين المستخدمة هي قانون الضرب وقانون الجمع.

لنحسب الاحتمال المطلوب، سنستخدم قانون الجمع. يمكن تقسيم هذا الاحتمال إلى حالتين: الحالة الأولى هي اختيار مصباح معيب ثم اختيار مصباح غير معيب، والحالة الثانية هي اختيار مصباحين غير معيبين.

لحساب الاحتمال في الحالة الأولى، نستخدم قانون الضرب. احتمال اختيار مصباح معيب هو عدد المصابيح المعيبة على إجمالي عدد المصابيح، أي $\frac{4}{22}$، وبعد ذلك يتم اختيار مصباح غير معيب بالنسبة للحالة الأولى، وهو $\frac{18}{21}$، حيث يقل العدد بواحد بعد اختيار المصباح الأول.

لحساب الاحتمال في الحالة الثانية، نستخدم أيضًا قانون الضرب. احتمال اختيار مصباحين غير معيبين هو $\frac{18}{22}$ للاختيار الأول و $\frac{17}{21}$ للاختيار الثاني.

ثم نستخدم قانون الجمع لجمع الاحتمالات في الحالتين. يتم ذلك عبر جمع ناتجي الاحتمالات المحسوبة للحالتين:

$\left(\frac{4}{22} \times \frac{18}{21}\right) + \left(\frac{18}{22} \times \frac{17}{21}\right)$

هذا يعبر عن الاحتمال الإجمالي لاختيار مصباح واحد على الأقل معيب من بين اثنين. الآن يمكنك بسهولة حساب هذا الرقم للحصول على الإجابة النهائية.