احتمالية اختيار كرة خضراء: حل وتفسير (مسألة رياضيات)

نريد حساب احتمالية اختيار كرة خضراء بعد اختيار عشوائي لحاوية من بين A و B و C، ثم اختيار كرة من تلك الحاوية.

لنفرض أن:

• A تحتوي على 2 كرة خضراء و 3 كرات حمراء.
• B تحتوي على 1 كرة خضراء و 4 كرات حمراء.
• C تحتوي على 3 كرات خضراء و 2 كرات حمراء.

نريد حساب احتمالية اختيار حاوية معينة متضمنة اختيار كرة خضراء. سنفعل ذلك عن طريق حساب الاحتماليات كالتالي:

1. احتمال اختيار حاوية A وكرة خضراء:

   • احتمال اختيار حاوية A: 1/3
   • احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية A: 2/5
   • الاحتمال الإجمالي: (1/3) * (2/5) = 2/15

2. احتمال اختيار حاوية B وكرة خضراء:

   • احتمال اختيار حاوية B: 1/3
   • احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية B: 1/5
   • الاحتمال الإجمالي: (1/3) * (1/5) = 1/15

3. احتمال اختيار حاوية C وكرة خضراء:

   • احتمال اختيار حاوية C: 1/3
   • احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية C: 3/5
   • الاحتمال الإجمالي: (1/3) * (3/5) = 3/15

الآن، سنجمع هذه الاحتماليات الثلاث للحصول على الاحتمال الإجمالي لاختيار كرة خضراء:

احتمالية اختيار كرة خضراء = (2/15) + (1/15) + (3/15) = 6/15

يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى النسبة المختصرة:

احتمالية اختيار كرة خضراء = 6/15 = 2/5

في هذه المسألة، نريد حساب احتمالية اختيار كرة خضراء بعد اختيار عشوائي لإحدى الحاويات A، B، أو C ثم اختيار كرة من داخل تلك الحاوية. لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية وقوانينه، بما في ذلك قانون الإحتمالية الشرطية وقانون الإحتمالية الإجمالية.

1. قانون الإحتمالية الشرطية:
   هذا القانون ينص على أن احتمالية حدوث حدث ما، عندما يشرط وقوع حدث آخر، تُحسب بالنسبة المئوية للحالات التي يحدث فيها الحدث المراد مقسوماً على عدد جميع الحالات التي يمكن أن تحدث.

2. قانون الإحتمالية الإجمالية:
   هذا القانون ينص على أن احتمالية حدوث حدث ما يمكن حسابها بجمع احتماليات حدوث ذلك الحدث في كل حالة ممكنة للتجربة.

لحل المسألة، نقوم بحساب احتمالية اختيار كرة خضراء من كل حاوية ونضربها في احتمالية اختيار تلك الحاوية. ثم نقوم بجمع هذه النتائج للحصول على الاحتمالية الإجمالية لاختيار كرة خضراء.

تفصيل الحل:

• حاوية A: تحتوي على 2 كرة خضراء و 3 كرات حمراء. احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية A = 2/5.
• حاوية B: تحتوي على 1 كرة خضراء و 4 كرات حمراء. احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية B = 1/5.
• حاوية C: تحتوي على 3 كرات خضراء و 2 كرات حمراء. احتمال اختيار كرة خضراء من حاوية C = 3/5.

الآن نضرب كل احتمالية اختيار كرة خضراء في احتمال اختيار كل حاوية، ثم نجمع النتائج:

$(2/5) \times (1/3) + (1/5) \times (1/3) + (3/5) \times (1/3) = (2/15) + (1/15) + (3/15) = 6/15$

وبتبسيط الكسر، نحصل على الإجابة:

$6/15 = 2/5$

إذا، احتمالية اختيار كرة خضراء هي 2/5.