احتمالية اختيار فتاتين في النادي (مسألة رياضيات)

من بين أعضاء النادي العشرة، والذين يتألفون من 5 فتيان و5 فتيات، يتم اختيار عضوين عشوائيين. الهدف هو حساب الاحتمالية التي يكون فيها العضوان المختاران من النادي فتاتان.

لنبدأ بحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عضوين من النادي الذي يحتوي على 10 أعضاء. يمكن اختيار أي من الأعضاء العشرة كأول عضو، ويمكن اختيار أي من الأعضاء المتبقين (9 أعضاء) كعضو ثاني.

إذاً، إجمالي الطرق الممكنة لاختيار عضوين هو:

$10 \times 9 = 90$

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار فتاتين من بين الفتيات الخمسة في النادي. يمكن اختيار أي من الفتيات الخمسة كأول فتاة، ويمكن اختيار أي من الفتيات المتبقيات (4 فتيات) كفتاة ثانية.

إذاً، عدد الطرق لاختيار فتاتين هو:

$5 \times 4 = 20$

الآن، يمكننا حساب الاحتمالية التي يكون فيها العضوان المختاران فتاتان عن طريق قسمة عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار فتاتين على العدد الإجمالي للطرق الممكنة لاختيار أي عضوين:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار فتاتين}}{\text{الطرق الممكنة لاختيار أي عضوين}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$

إذاً، الاحتمالية التي يكون فيها العضوان المختاران فتاتان هي $\frac{2}{9}$.

في حل مسألة اختيار عضوين من النادي، نستخدم قوانين الاحتمالات ومبدأ العد الجماعي. القوانين المستخدمة تتضمن:

1. قانون العد الجماعي: يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث حدث ما.

2. قانون الاحتمالية: يستخدم لحساب الاحتمالية لحدوث حدث ما، ويتمثل في قسمة عدد النتائج المرجحة (المحتملة) على إجمالي عدد النتائج الممكنة.

الآن، دعنا نراجع الخطوات بالتفصيل لحساب الاحتمالية التي يكون فيها العضوان المختاران فتاتان:

1. حساب الطرق الممكنة لاختيار عضوين: يوجد 10 أعضاء في النادي، ونحتاج لاختيار اثنين منهم. يمكن اختيار العضو الأول من بين 10 أعضاء، والعضو الثاني من بين الأعضاء المتبقين (9 أعضاء). لذا، عدد الطرق الممكنة للاختيار هو $10 \times 9 = 90$.

2. حساب عدد الطرق التي يكون فيها العضوان المختاران فتاتان: هنا نحتاج لاختيار اثنتين من الفتيات الخمسة المتواجدات في النادي. يمكن اختيار الفتاة الأولى من بين 5 فتيات، والفتاة الثانية من بين الفتيات المتبقيات (4 فتيات). لذا، عدد الطرق لاختيار فتاتين هو $5 \times 4 = 20$.

3. حساب الاحتمالية: بعد حساب عدد الطرق المحتملة لحدوث الحالة المطلوبة والحالات الإجمالية الممكنة، نقوم بقسمة عدد الطرق لاختيار الفتاتين على العدد الإجمالي للطرق الممكنة لاختيار أي عضوين. بالتالي، الاحتمالية هي $\frac{20}{90} = \frac{2}{9}$.

باختصار، الاحتمالية التي يكون فيها العضوان المختاران فتاتان هي $\frac{2}{9}$.