احتمالية اختيار عدد أولي من 1 إلى 40 (مسألة رياضيات)

إذا كنت تختار رقمًا عشوائيًا من بين الأرقام 1 إلى 40، ما هي احتمالية أن يكون الرقم الذي تختاره عددًا أوليًا؟

لنحسب هذه الاحتمالية. أولاً وقبل كل شيء، دعنا نحدد الأعداد الأولية في هذا النطاق. الأعداد الأولية هي تلك الأعداد التي لا يمكن قسمها على أي عدد آخر سوى 1 ونفسها. لنرى هذه الأعداد في النطاق المطلوب: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

عدد الأعداد الأولية في هذا النطاق هو 12. الآن، إذا كانت كل الأرقام متساوية الاحتمال، فإن إجمالي عدد الأرقام في النطاق هو 40. لذا، الاحتمالية (P) أن يكون الرقم الذي تختاره عددًا أوليًا تحسب كالتالي:

$P = \frac{\text{عدد الأعداد الأولية}}{\text{إجمالي عدد الأرقام}}$

$P = \frac{12}{40}$

وهذا يمكن تبسيطه إلى:

$P = \frac{3}{10}$

إذا كانت الأرقام تختار بشكل عشوائي، فإن الاحتمال أن يكون الرقم الذي تختاره عددًا أوليًا هو $\frac{3}{10}$.

لحساب الاحتمالية في هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الأساسية في حساب الاحتمالات. دعونا ننظر إلى التفاصيل بشكل أكثر دقة.

1. تحديد الأعداد الأولية:
   نحتاج إلى تحديد الأعداد الأولية في النطاق المعطى، وهي الأعداد التي لا يمكن قسمها على أي عدد آخر سوى 1 ونفسها. في هذه الحالة، الأعداد الأولية في النطاق 1 إلى 40 هي: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

2. حساب عدد الأعداد الأولية:
   الآن، نحسب عدد الأعداد الأولية في هذا النطاق وهو 12.

3. حساب إجمالي عدد الأرقام:
   نحسب إجمالي عدد الأرقام في النطاق وهو 40.

4. استخدام قاعدة الاحتمال:
   الاحتمالية هي نسبة عدد النتائج المرغوبة إلى إجمالي عدد النتائج الممكنة. في هذه الحالة، يمكننا استخدام الصيغة:
   $P = \frac{\text{عدد الأعداد الأولية}}{\text{إجمالي عدد الأرقام}}$

   بوضع القيم:
   $P = \frac{12}{40}$

   وبتبسيط الكسر:
   $P = \frac{3}{10}$

   إذا كانت الأرقام تُختار بشكل عشوائي، فإن الاحتمال أن يكون الرقم الذي تُختاره عددًا أوليًا هو $\frac{3}{10}$.

5. قوانين الاحتمال:
   في هذا الحل، استخدمنا قاعدة الاحتمال الأساسية التي تقول إن الاحتمالية تحسب كنسبة عدد النتائج المرغوبة إلى إجمالي عدد النتائج الممكنة.

هذا هو الحل بالتفصيل لهذه المسألة، حيث تم استخدام القوانين الأساسية لحساب الاحتمالات.