احتمالية اختيار طويفة تحتوي على 3 أو 4 من مجموعة الأرقام

المجموعة S تتكون من 5 أرقام: {1، 2، 3، 4، 5}. إذا تم إنشاء جميع الطوائف الممكنة بما في ذلك مجموعة الصفر، واختيار إحدى الطوائف عشوائيًا، فما هي احتمالية أن تكون الطويفة تحتوي على الرقم 3 أو 4 كأكبر رقم فيها؟

لنحسب عدد الطوائف التي يمكن أن تحتوي على الرقم 3 كأكبر عنصر فيها، يمكن أن نكون لدينا الطوائف التالية: {1، 2، 3}، {2، 3}، {3}، {1، 3}، {1، 2، 3، 4}، {2، 3، 4}، {3، 4}، {1، 3، 4}، {1، 2، 3، 4، 5}، {2، 3، 4، 5}، {3، 4، 5}، {1، 3، 4، 5}.

إذا كان هناك 12 طويفة تحتوي على الرقم 3 كأكبر عنصر فيها. بنفس الطريقة، يمكن أن تكون الطوائف التي تحتوي على الرقم 4 كأكبر عنصر فيها هي: {1، 2، 4}، {2، 4}، {4}، {1، 4}، {1، 2، 3، 4}، {2، 3، 4}، {3، 4}، {1، 3، 4}، {1، 2، 3، 4، 5}، {2، 3، 4، 5}، {3، 4، 5}، {1، 3، 4، 5}، وبالتالي يوجد 12 طويفة تحتوي على الرقم 4 كأكبر عنصر فيها.

إجمالاً، هناك 24 طويفة تحتوي على الرقم 3 أو 4 كأكبر عنصر فيها. الآن، لنحسب إجمالي عدد الطوائف الممكنة، وهو 2^5 نظرًا لأن المجموعة S تحتوي على 5 أعضاء.

الاحتمالية = (عدد الطوائف التي تحتوي على 3 أو 4) / (إجمالي عدد الطوائف الممكنة) = 24 / 32 = 3 / 4.

إذا كانت الإجابة هي 3/4.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهومات الجمعيات والاحتمالات. لنقوم بذلك، دعونا نلقي نظرة على القوانين المستخدمة ونقوم بتوسيع الشرح:

قوانين الجمعيات:

1. المجموعة الفرعية (Subset):

   • يمثل الطويفة (subset) أي مجموعة تحتوي على بعض أو كل الأعضاء في المجموعة الأصلية. يمكن تشكيل الطوائف من خلال اختيار أو عدم اختيار الأعضاء.

2. عدد الطوائف:

   • يمكن حساب عدد الطوائف المختلفة باستخدام القاعدة الرياضية 2^n حيث n هو عدد الأعضاء في المجموعة. في هذه المسألة، لدينا 5 أعضاء، لذلك عدد الطوائف = 2^5 = 32.

حساب عدد الطوائف التي تحتوي على 3 أو 4 كأكبر عنصر:

3. الطويف التي تحتوي على 3:

   • نقوم بتكوين الطوائف التي تحتوي على الرقم 3. يمكن أن تكون الطوائف: {1، 2، 3}، {2، 3}، {3}، {1، 3}، {1، 2، 3، 4}، {2، 3، 4}، {3، 4}، {1، 3، 4}، {1، 2، 3، 4، 5}، {2، 3، 4، 5}، {3، 4، 5}، {1، 3، 4، 5}، مما يعطينا 12 طويفة.

4. الطويف التي تحتوي على 4:

   • بنفس الطريقة، نكون الطوائف التي تحتوي على الرقم 4، مما يمنحنا 12 طويفة أخرى.

حساب الاحتمالية:

• الاحتمالية تحسب بقسمة عدد الطوائف التي تحتوي على 3 أو 4 على إجمالي عدد الطوائف الممكنة.
• الإجابة = (عدد الطوائف التي تحتوي على 3 أو 4) / (إجمالي عدد الطوائف الممكنة) = (12 + 12) / 32 = 24 / 32 = 3 / 4.

الخلاصة:

• استخدمنا فكرة الجمعيات لتحديد الطوائف التي تحتوي على الرقم 3 أو 4 كأكبر عنصر.
• حسبنا عدد هذه الطوائف.
• حسبنا إجمالي عدد الطوائف الممكنة.
• قسمنا بينهما للحصول على الاحتمالية المطلوبة.

بهذا الشكل، يمكننا فهم وحل المسألة باستخدام مفاهيم الجمعيات والاحتمالات.