احتمالية اختيار زوج من الجوارب (مسألة رياضيات)

عندما يستيقظ تيم كل صباح، يبحث بتعب في درج جواربه ويختار جوربين عشوائياً. إذا كان لديه 10 جوارب بقاع رمادية و 8 جوارب بقاع بيضاء في درج الجوارب، ما هي الاحتمالية التي يختار فيها زوجاً متطابقاً؟

لنحسب الاحتمالية بالطريقة التالية:

1. الجوارب ذات الأسفل الرمادي: 10 جوارب.
2. الجوارب ذات الأسفل الأبيض: 8 جوارب.

إذاً، إجمالي عدد الجوارب المتوفرة هو 10 + 8 = 18 جورب.

لنقم بحساب الاحتمالية لاختيار زوج متطابق من الجوارب:

1. في البداية، تكون هناك احتمالية لاختيار أي جورب في الدرج.
2. بعد اختيار الجورب الأول، تبقى 17 جورباً.
3. لاختيار الجورب الثاني بحيث يكون متطابقاً مع الجورب الأول، يجب أن يكون لدينا نفس لون الجورب.

لذلك، الاحتمالية لاختيار زوج متطابق من الجوارب تكون مجموع احتمالية اختيار الجورب الأول واحتمالية اختيار الجورب الثاني من نفس اللون.

احتمالية اختيار الجورب الأول:
= عدد الجوارب ذات اللون الرمادي / إجمالي عدد الجوارب
= 10 / 18

احتمالية اختيار الجورب الثاني من نفس اللون:
= (عدد الجوارب ذات اللون الرمادي – 1) / (إجمالي عدد الجوارب – 1)
= (10 – 1) / (18 – 1)

الآن، نضرب الاحتمالين معاً للحصول على احتمالية اختيار زوج متطابق من الجوارب:

احتمالية اختيار زوج متطابق من الجوارب = (10 / 18) * (9 / 17)

الآن نقوم بحساب هذه القيمة:

احتمالية اختيار زوج متطابق من الجوارب = (10/18) * (9/17) = 0.2941

إذاً، الاحتمالية أن يختار تيم زوجاً متطابقاً من الجوارب هي 0.2941 أو 29.41%.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية وبعض القوانين الرياضية المتعلقة بالاحتمالات. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. قانون الجمع (أو الإجمال): يقول هذا القانون إنه إذا كانت هناك عدة طرق لحدوث حدث، فيمكننا جمع احتمالات حدوث كل طريقة للحصول على الاحتمال الإجمالي لحدوث الحدث.
2. قانون الضرب: يقول هذا القانون إنه إذا كان لدينا سلسلة من الأحداث المستقلة، يمكننا حساب الاحتمال الإجمالي لحدوث هذه السلسلة عن طريق ضرب الاحتمالات لكل حدث.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين لحل المسألة:

1. حساب الاحتمالية الإجمالية لاختيار جورب أول بنجاح:

   • عدد الجوارب الرمادية المتاحة = 10
   • إجمالي عدد الجوارب المتاحة = 10 + 8 = 18
   • احتمالية اختيار جورب رمادي في المرة الأولى = (عدد الجوارب الرمادية المتاحة) / (إجمالي عدد الجوارب المتاحة) = 10/18

2. حساب الاحتمالية لاختيار جورب ثاني بنجاح بعد اختيار الأول:

   • بمجرد اختيار جورب في المرة الأولى، يبقى لدينا 9 جوارب رمادية و 8 بيضاء.
   • إجمالي عدد الجوارب المتاحة بعد اختيار الجورب الأول = 18 – 1 = 17
   • احتمالية اختيار جورب رمادي في المرة الثانية بعد اختيار رمادي في المرة الأولى = (عدد الجوارب الرمادية المتاحة بعد الاختيار الأول) / (إجمالي عدد الجوارب المتاحة بعد الاختيار الأول) = 9/17

3. استخدام قانون الضرب لحساب الاحتمالية الإجمالية لاختيار زوج متطابق من الجوارب:

   • الاحتمالية الإجمالية = (احتمالية اختيار جورب رمادي في المرة الأولى) * (احتمالية اختيار جورب رمادي في المرة الثانية بعد اختيار رمادي في المرة الأولى)
   • = (10/18) * (9/17)

بعد الحساب، سنجد الاحتمالية النهائية لاختيار زوج متطابق من الجوارب.