احتمالية اختيار رقائق ملونة مختلفة (مسألة رياضيات)

في كيس يحتوي على 5 رقائق زرقاء و3 رقائق صفراء، يتم اختيار رقاقة بشكل عشوائي، ثم يتم وضعها مرة أخرى في الكيس. يتم اختيار رقاقة ثانية. ما هي احتمالية أن تكون الرقاقتين المختارتين من ألوان مختلفة؟

لنقم بتجسيد هذه المسألة بشكل رياضي. لدينا 5 رقائق زرقاء و3 رقائق صفراء، وبما أننا نقوم باستخدام الاستبدال، فإن إجمالي عدد الرقائق يظل ثابتًا عند 8.

لحساب الاحتمال، نستخدم قاعدة الضرب. احتمال اختيار رقاقة زرقاء في المرة الأولى هو 5/8، واحتمال اختيار رقاقة غير زرقاء (صفراء) في المرة الثانية هو 3/8. وبما أننا نريد الاحتمال أن تكون الرقاقتين من ألوان مختلفة، نقوم بضرب هذين الاحتمالين.

$P(\text{مختلفة الألوان}) = P(\text{زرقاء في المرة الأولى}) \times P(\text{غير زرقاء في المرة الثانية})$
$P(\text{مختلفة الألوان}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8}$

الآن، لنقم بحساب هذا الاحتمال:

$P(\text{مختلفة الألوان}) = \frac{5 \times 3}{8 \times 8} = \frac{15}{64}$

إذاً، إجابة المسألة هي أن احتمالية أن تكون الرقاقتين المختارتين من ألوان مختلفة هي $\frac{15}{64}$.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفاصيل وذلك باستخدام مبدأ الاحتمالات وقوانين الاحتمال.

المبدأ الأساسي لحساب الاحتمالات ينص على أن احتمال حدوث حدثين متزامنين يحسب بضرب احتمال حدوث كل منهما على حدة. لدينا اثنين من الأحداث هنا: اختيار رقاقة زرقاء في المرة الأولى واختيار رقاقة غير زرقاء في المرة الثانية.

لحساب احتمال اختيار رقاقة زرقاء في المرة الأولى، نقوم بتقسيم عدد الرقائق الزرقاء على إجمالي عدد الرقائق:
$P(\text{زرقاء في المرة الأولى}) = \frac{\text{عدد الرقائق الزرقاء}}{\text{إجمالي الرقائق}} = \frac{5}{8}$

ثم، لحساب احتمال اختيار رقاقة غير زرقاء في المرة الثانية (بعد إعادة الرقاقة الزرقاء إلى الكيس)، نقوم بتقسيم عدد الرقائق الصفراء على إجمالي الرقائق:
$P(\text{غير زرقاء في المرة الثانية}) = \frac{\text{عدد الرقائق الصفراء}}{\text{إجمالي الرقائق}} = \frac{3}{8}$

الآن، نستخدم مبدأ الضرب لحساب احتمال حدوث الحدثين متزامنين (اختيار رقاقة زرقاء في المرة الأولى ورقاقة غير زرقاء في المرة الثانية):
$P(\text{مختلفة الألوان}) = P(\text{زرقاء في المرة الأولى}) \times P(\text{غير زرقاء في المرة الثانية})$
$P(\text{مختلفة الألوان}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8}$

الضرب يأخذ مكاناً هنا لأن الحوادث هي متزامنة، أي أن الحدث الثاني يعتمد على نتيجة الحدث الأول. وبالتالي، نحصل على الإجابة النهائية:
$P(\text{مختلفة الألوان}) = \frac{5 \times 3}{8 \times 8} = \frac{15}{64}$

القوانين المستخدمة هي قوانين الاحتمالات ومبدأ الضرب، وقد تم استخدامها بشكل دقيق لحساب الاحتمالية المطلوبة.