احتمالية اختيار حذاءين متشابهين من صندوق 200 حذاء

في صندوق محتوي على 100 زوج حذاء (مجموعهم 200 حذاء)، إذا تم اختيار حذاءين عشوائياً، فما هي احتمالية أن يكونا حذاءين متشابهين؟

لنحسب الاحتمالية، يجب علينا أولاً معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار الحذاءين ومن ثم عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين متشابهين.

عدد الطرق الممكنة لاختيار الحذاءين: 200 حذاء يمكن اختيار الحذاء الأول من بين 200 حذاء، والحذاء الثاني من بين الحذاء الباقي (199 حذاء)، لذا عدد الطرق هو 200 × 199.

عدد الطرق الممكنة لاختيار حذاءين متشابهين: لأن هناك 100 زوج، يمكن اختيار أي حذاء من بين الحذاءين المتشابهين، ولدينا 2 طرق لاختيار الحذاءين المتشابهين (الحذاء الأول ثم الحذاء الثاني، أو الحذاء الثاني ثم الحذاء الأول).

إذا كانت الاحتمالية تُعبر عن نسبة الحالات المرغوبة إلى الحالات الكلية، فإن الاحتمالية هي:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين}}{\text{عدد الطرق الكلية لاختيار حذاءين}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{2}{200 \times 199}$

الآن، يمكننا تبسيط الكسر وحساب القيمة النهائية للإجابة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق مفهوم الاحتمالات واستخدام قوانين الاحتمال. القانون الأساسي هو أنّ الاحتمال يُحسب عند قسمة عدد الحالات المرغوبة على عدد الحالات الإجمالي.

لنحسب الاحتمال أولاً:

1. عدد الطرق الكلية لاختيار حذاءين:
   يمكن اختيار الحذاء الأول من بين 200 حذاء، والحذاء الثاني من بين الحذاء الباقي (199 حذاء).
   إذاً، عدد الطرق الكلية هو $200 \times 199$.

2. عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين:
   لدينا 100 زوج من الأحذية، ويمكن اختيار أي حذاء من بين الحذاءين المتشابهين. لذا، عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين هو $100 \times 2$ (حيث هناك اثنين من الحالات: اختيار الحذاء الأول ثم الحذاء الثاني، أو الحذاء الثاني ثم الحذاء الأول).

الآن، نستخدم القانون لحساب الاحتمال:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار حذاءين متشابهين}}{\text{عدد الطرق الكلية لاختيار حذاءين}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{100 \times 2}{200 \times 199}$

الآن، يمكننا تبسيط الكسر وحساب القيمة النهائية. يُلاحظ أنّ القوانين المستخدمة هي قوانين الاحتمالات الأساسية، حيث نستخدم النسب لحساب الاحتمالات.