احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه في المقابلة (مسألة رياضيات)

في ورشة إصلاح السيارات، يعمل جوشوا وجوزيه مع 4 عمال آخرين. لإجراء استطلاع حول التأمين الصحي، سيتم اختيار عشوائي لمقابلة اثنين من بين 6 عمال. ما هي احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه معًا؟

لنقم بحساب الاحتمالية. أولاً، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار جوشوا وجوزيه من بين 6 عمال. هما فقط يمكن اختيارهما بطريقة واحدة، لذلك هناك طريقة واحدة لاختيارهما من بين الستة.

ثم، نحتاج إلى معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار أي زوج آخر من العمال من بين الستة. هنا يمكن اختيار أي زوج من الستة بطريقة (6 اختيار 2)، حيث يمثل (6 اختيار 2) عدد الطرق الممكنة لاختيار زوجين من بين ستة.

الآن، يمكننا حساب الاحتمالية باستخدام العلاقة:

$\text{احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه} = \frac{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار جوشوا وجوزيه}}{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج من بين الستة}}$

$\text{احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه} = \frac{1}{\binom{6}{2}}$

الآن، لنقم بحساب القيمة:

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

إذاً،

$\text{احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه} = \frac{1}{15}$

لذلك، الاحتمالية أن يتم اختيار جوشوا وجوزيه معًا في المقابلة هي 1 من بين 15.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالية والتوزيع المركب.

أولاً، لنحدد عدد الطرق الممكنة لاختيار جوشوا وجوزيه من بين 6 عمال، نستخدم قاعدة الضرب لأن الاختيارات مستقلة. إذاً، عدد الطرق لاختيار جوشوا وجوزيه هو عدد الطرق لاختيار جوشوا (1 طريقة) ضربًا في عدد الطرق لاختيار جوزيه (1 طريقة)، وهو:

$1 \times 1 = 1$

ثم، لنحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار أي زوج آخر من العمال من بين 6. نستخدم صيغة التركيبات (الاختيار)، حيث يُمثل $\binom{n}{k}$ عدد الطرق لاختيار $k$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصرًا. في هذه الحالة، $n = 6$ و $k = 2$. لذا، عدد الطرق لاختيار زوج من بين الستة هو:

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

الآن، لحساب الاحتمالية، نستخدم العلاقة:

$\text{احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه} = \frac{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار جوشوا وجوزيه}}{\text{عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج من بين الستة}}$

$\text{احتمالية اختيار جوشوا وجوزيه} = \frac{1}{15}$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة الضرب: تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث سلسلة من الأحداث المستقلة.

2. صيغة التركيبات (الاختيار): تُستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من العناصر من بين مجموعة أكبر.