احتمالية اختيار تفاحتين خضراوتين (مسألة رياضيات)

عدد التفاح الكلي الذي يمتلكه جيمس هو $X$ تفاحة. من بينها 4 تفاحات حمراء و 3 تفاحات خضراء. إذا اختار تفاحتين عشوائيتين، فما هي احتمالية أن تكون كلتا التفاحتين خضراء؟

لحساب الاحتمالية، يجب أولاً معرفة عدد الطرق الممكنة لاختيار تفاحتين من بين التفاحات الخضراء وتقسيمها على عدد الطرق الممكنة لاختيار تفاحتين من بين جميع التفاحات.

عدد الطرق لاختيار تفاحتين خضراء هو:
$\text{عدد التفاحات الخضراء} \times \text{التفاحات الأخرى الخضراء} = 3 \times 2 = 6$

عدد الطرق الإجمالي لاختيار تفاحتين من بين جميع التفاحات هو:
$\text{عدد التفاحات الكلية} \times (\text{عدد التفاحات الكلية} – 1) = X \times (X – 1)$

وبالتالي، الاحتمالية هي النسبة بين عدد الطرق لاختيار تفاحتين خضراء وعدد الطرق الإجمالي:
$\frac{6}{X \times (X – 1)} = \frac{1}{7}$

من هنا، نستنتج أن:
$6 \times 7 = X \times (X – 1)$
$42 = X^2 – X$

الآن، نحتاج إلى حل المعادلة الثانوية. نجمع $X^2 – X – 42 = 0$، حيث يمكننا استخدام العوامل التالية:

$(X – 7)(X + 6) = 0$

بالتالي، يكون $X = 7$ (نظراً لأن العدد السالب لا ينطبق في هذا السياق)، وهو القيمة المطلوبة للمتغير X.

في حل المسألة، استخدمنا قوانين الاحتمالات والتوزيع المؤلف منهما، بالإضافة إلى المفهوم الأساسي للتوزيع العشوائي.

1. قانون الاحتمالات:
   قانون الاحتمالات هو مفهوم يقوم على تقدير مدى احتمالية حدوث حدث معين. في هذه المسألة، كنا نبحث عن احتمالية اختيار تفاحتين خضراوتين من بين جميع التفاحات المتاحة.

2. التوزيع المؤلف:
   في هذه المسألة، استخدمنا مفهوم التوزيع المؤلف الذي يقوم بحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث حدث معين. بالتالي، حسبنا عدد الطرق الممكنة لاختيار تفاحتين خضراوتين وقسمناها على عدد الطرق الإجمالي لاختيار تفاحتين من بين جميع التفاحات.

3. التوزيع العشوائي:
   في المسألة، كان عملية اختيار التفاحات تتبع توزيعًا عشوائيًا، حيث كانت احتمالية اختيار كل تفاحة معينة متساوية.

حيث استخدمنا هذه القوانين في حل المسألة بالتفصيل:

• حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار تفاحتين خضراوتين من بين التفاحات الخضراء المتاحة.
• حساب عدد الطرق الإجمالي لاختيار تفاحتين من بين جميع التفاحات.
• استخدام قانون الاحتمالات لتحديد الاحتمالية المطلوبة.

من خلال معرفة هذه القوانين وتطبيقها، تمكنا من حل المسألة بدقة وفهم المفاهيم الرياضية المتعلقة بالاحتمالات والتوزيعات.