احتمالية اختيار تفاحتين خضراوتين: حلاً رياضيًا (مسألة رياضيات)

من بين تلك التفاح السبعة التي يمتلكها جيمس، أربعة منها حمراء وثلاث منها خضراء. إذاً، إذا قام بتحديد تفاحتين عشوائيتين، فما هي احتمالية أن تكون كلتاهما خضراء؟

حسنًا، لنحسب هذه الاحتمالية. أولًا، يجب علينا حساب عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها اختيار تفاحتين خضراوتين من بين الثلاث التفاح الخضراء. وعليه، نستخدم مبدأ الجمع في الاحتماليات.

التفاحتان الخضراوتان يمكن اختيارهما بـ 3C2 طريقة، وهي نفسها 3 طرق. الآن، بعد اختيار التفاحتين، هناك 5 تفاح حمراء تبقى، ويمكن اختيار أي منهما بـ 4C0 طرقة، أي طريقة واحدة.

الآن، لنحسب عدد الطرق الإجمالية التي يمكن بها اختيار تفاحتين من الستة التفاح (الثلاث الخضراء والأربع الحمراء) بدون أخذ ترتيب الاختيار في اعتبارنا. وهو 6C2، الذي يكون يساوي 15.

إذاً، الاحتمالية معينة بالنسبة إلى الشرط المطلوب هي نسبة عدد الطرق الناجحة (اختيار تفاحتين خضراوتين) إلى العدد الإجمالي للطرق، وهي كالتالي:

$P(\text{كلتا التفاحتين خضراوتين}) = \frac{3C2 \times 4C0}{6C2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$

إذاً، احتمالية أن يختار جيمس تفاحتين خضراوتين عند اختياره لتفاحتين عشوائيتين هي 1/5.

لحل هذه المسألة الحسابية، سنستخدم مفهوم الاحتمالية والقوانين المتعلقة بها. أولًا وقبل كل شيء، دعونا نعرف المزيد عن المسألة.

لدينا 7 تفاح، 4 منها حمراء و3 خضراء. والسؤال هو عند اختيار تفاحتين عشوائيتين، ما هي احتمالية أن تكون كلتاهما خضراء؟

لحساب الاحتمال، سنستخدم قاعدة الجمع وقاعدة الضرب في الاحتماليات.

1. قاعدة الجمع:
   إذا كان يمكن أن يحدث أمر بأحد الطرق العديدة، يتم جمع احتمالات كل طريقة. في هذه المسألة، نحتاج إلى اختيار تفاحتين خضراوتين، وهنا هو الحساب:

   $P(\text{اختيار تفاحتين خضراوتين}) = \frac{\text{عدد الطرق لاختيار تفاحتين خضراوتين}}{\text{العدد الإجمالي لاختيار تفاحتين}}$

2. قاعدة الضرب:
   إذا كان يجب علينا أداء سلسلة من الأحداث المتتالية، نضرب احتمال حدوث كل حدث ببعضه. في هذه المسألة، عند اختيار تفاحتين، نحتاج إلى حساب احتمالية اختيار تفاحتين خضراوتين.

لنحسب القيم:

أولاً، عدد الطرق لاختيار تفاحتين خضراوتين:
$3C2 = 3$

ثم عدد الطرق لاختيار أي تفاحتين حمراوتين من البقية:
$4C0 = 1$

العدد الإجمالي لاختيار تفاحتين من الستة التفاح:
$6C2 = 15$

الآن نقوم بحساب الاحتمالية:
$P(\text{اختيار تفاحتين خضراوتين}) = \frac{3C2 \times 4C0}{6C2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$

بذلك، نستنتج أن احتمالية أن يختار جيمس تفاحتين خضراوتين هي $\frac{1}{5}$.