احتمالية اختيار أعداد أولية بين 1 و 20 (مسألة رياضيات)

عند اختيار عددين عشوائيين من بين الأعداد من 1 إلى 20 بما في ذلك الحدود، فما هي الاحتمالية أن يكون كلا الرقمين أعدادًا أولية؟

الأعداد الأولية بين 1 و 20 هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، و 19.

إذاً، لنحسب عدد الأعداد الأولية بين 1 و 20. هناك 8 أعداد أولية في هذا النطاق.

عدد الطرق لاختيار العددين الأولية هو مجموعات الرقمين الأولية الممكنة، وهو ما يساوي عدد الطرق لاختيار رقم أولي واحد مضروبًا في عدد الطرق لاختيار الرقم الأولي الآخر.

عدد الطرق لاختيار العددين الأولية هو: $8 \times 7 = 56$ طريقة.

الآن، لنحسب عدد الطرق لاختيار أي عددين من بين الأعداد من 1 إلى 20، وهو مجموعات العددين الممكنة وهو ما يساوي عدد الطرق لاختيار أي رقمين من بين 20 رقمًا، وهو $20 \times 19 = 380$ طريقة.

الاحتمالية هي عدد النتائج المرجوة مقسومًا على إجمالي النتائج الممكنة.

إذاً، الاحتمالية أن يكون الرقمان اللذان تم اختيارهما عددين أوليين هي:

لذا، الإجابة هي $\frac{14}{95}$.

لحل المسألة وحساب الاحتمالية، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم في الاحتمالات. هذه القوانين تشمل:

1. تعريف الاحتمالية: الاحتمالية هي مقدار يعبر عن الفرصة أو النسبة المئوية لحدوث حدث معين.

2. قانون العدد الإجمالي للنتائج الممكنة: في المسألة المعطاة، عدد النتائج الممكنة هو عدد الطرق المختلفة التي يمكن اختيار عددين من بين مجموعة الأعداد المعطاة.

3. قانون العدد الإجمالي للنتائج المرجوة: هو العدد الكلي للنتائج التي تناسب الشرط المحدد في المسألة.

4. قانون الاحتمالية: يعبر عن النسبة بين عدد النتائج المرجوة وعدد النتائج الممكنة.

بالنسبة لحل المسألة، فقد تم استخدام القوانين السابقة كالتالي:

أولاً، تحديد الأعداد الأولية بين 1 و 20، وهي 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، و 19. تكون الأعداد الأولية هي النتائج المرجوة في هذه المسألة.

ثانياً، حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار عددين من بين هذه الأعداد. هنا نستخدم الضرب لأننا نريد معرفة عدد الطرق لاختيار العددين بترتيب مختلف، وهو يساوي $8 \times 7$.

ثالثاً، حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار أي عددين من بين الأعداد من 1 إلى 20، والذي يساوي $20 \times 19$.

وأخيراً، حساب الاحتمالية باستخدام قانون الاحتمالية، حيث نقسم عدد النتائج المرجوة على عدد النتائج الممكنة.

هذه الخطوات تساعد في فهم كيفية حل المسألة واستخدام القوانين الأساسية في الاحتماليات للوصول إلى الإجابة المطلوبة.