احتمالية اختيار أشخاص غير متزوجين (مسألة رياضيات)

في حالة اختيار 4 أشخاص من مجموعة تتألف من 8 أزواج متزوجين، ما هي الاحتمالية أن لا يكون أي منهم متزوجًا من الآخر؟

المسألة:
اعتبر مجموعة من 8 أزواج، ونقوم بانتقاء 4 أشخاص من بينهم. نريد معرفة الاحتمالية أن لا يكون أي من الأشخاص الأربعة المختارين متزوجًا من بعضهم البعض.

الحل:
لنحسب عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 أشخاص من بين 16 شخصًا (8 أزواج)، وذلك باستخدام الصيغة:

$\text{عدد الطرق} = \binom{16}{4}$

وتكون صيغة $\binom{n}{r}$ هي طريقة لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.

ثم نحسب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار 4 أشخاص بحيث لا يكون أي منهم متزوجًا من الآخر. لحساب ذلك، نراعي أن لدينا 8 أزواج، ونختار شخصًا واحدًا من كل زوج (لضمان أن لا يكونوا متزوجين من بعضهم البعض)، لذا نضرب هذا العدد في 8! (8 فاكتوريال)، ونقسم على 4! (4 فاكتوريال) لأن ترتيب اختيار الأشخاص لا يهم.

$\text{عدد الطرق بدون زواج بعضهم البعض} = 8 \times 7 \times 6 \times 5$

أخيرًا، نقوم بحساب الاحتمالية بالقسمة بين عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار 4 أشخاص بحيث لا يكونوا متزوجين من بعضهم البعض على عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 أشخاص من بين 16 شخصًا.

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق بدون زواج بعضهم البعض}}{\text{عدد الطرق الممكنة}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{\binom{16}{4}}$

لنفصل تفاصيل حلا المسألة ونذكر القوانين المستخدمة:

حساب الطرق الممكنة لاختيار 4 أشخاص:

استخدمنا صيغة $\binom{n}{r}$ لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 أشخاص من بين 16 شخصًا (8 أزواج)، وهي تعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر:

$\text{عدد الطرق} = \binom{16}{4}$

حساب الطرق بدون زواج بعضهم البعض:

للتأكد من أن أي من الأشخاص الأربعة المختارين ليسوا متزوجين من بعضهم البعض، قمنا بتحديد شخص واحد من كل زوج (مجموعة من 8 أزواج)، واختياره لضمان عدم الزواج ببعضهم البعض. استخدمنا القاعدة التالية:

$\text{عدد الطرق بدون زواج بعضهم البعض} = 8 \times 7 \times 6 \times 5$

حيث قمنا بضرب 8 في 7 في 6 في 5 لاختيار أربعة أشخاص من أصل 8.

حساب الاحتمالية:

أخذنا النسبة بين عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار 4 أشخاص بحيث لا يكونوا متزوجين من بعضهم البعض، وبين عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 أشخاص من بين 16 شخصًا باستخدام الصيغة:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الطرق بدون زواج بعضهم البعض}}{\text{عدد الطرق الممكنة}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{\binom{16}{4}}$

القوانين المستخدمة:

1. صيغة $\binom{n}{r}$: تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $r$ عنصرًا من بين مجموعة تحتوي على $n$ عنصر.
2. قاعدة الضرب: تستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لحدوث سلسلة من الأحداث متسلسلة.
3. حساب الاحتمالية: تستخدم لحساب النسبة بين عدد النتائج المرغوبة وعدد النتائج الممكنة.