احتمالية اختيار أرقام مختلفة بين 10 و 99 (مسألة رياضيات)

إذا تم اختيار عدد صحيح عشوائي يكون أكبر من 9 وأقل من 100، ما هي احتمالية أن تكون أرقامه مختلفة؟

لنقم بتحليل الأحتمالات:

هناك 90 عدداً صحيحاً بين 10 و 99. لنفحص الشروط التي تجعل الأرقام مختلفة. يمكن أن يتم اختيار العدد الأول من بين 9 أرقام (1 إلى 9)، والعدد الثاني من بين 10 أرقام (0 إلى 9) باستثناء الرقم الذي تم اختياره للعدد الأول.

إذا كان لدينا 9 اختيارات للعدد الأول و 9 اختيارات للعدد الثاني، يكون إجمالي عدد الاحتمالات للأرقام المختلفة هو المنتج بين عدد الاختيارات للعدد الأول وعدد الاختيارات للعدد الثاني، وذلك بحسب قاعدة الضرب.

$9 \times 9 = 81$

إذا كانت هناك 81 حالة تحقق لشرط الأرقام المختلفة. وبما أن هناك 90 احتمالاً كلياً، فإن احتمال أن يتم اختيار عدد صحيح بأرقام مختلفة هو نسبة الحالات المؤاتية إلى الإجمال، أي:

$\frac{81}{90} = \frac{9}{10}$

إذا كانت الاحتمالية هي $\frac{9}{10}$ أو 90%.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ قوانين الاحتمالات وتحديداً قاعدة الضرب. قاعدة الضرب تنص على أنه إذا كان لدينا عدة خيارات مستقلة، فإن عدد الطرق الإجمالي لحدوث الأحداث المستقلة يتم عن طريق ضرب عدد الخيارات لكل حدث.

في هذه المسألة، لدينا عددين يتم اختيارهما بشكل مستقل: العدد الأول والعدد الثاني. لاحتمال أن يكون لدينا عددان مختلفان، يجب أولاً اختيار العدد الأول. هناك 9 خيارات للعدد الأول (1 إلى 9). بعد ذلك، يمكن اختيار العدد الثاني من بين 10 خيارات (0 إلى 9) باستثناء الرقم الذي تم اختياره للعدد الأول.

$\text{عدد الطرق لاختيار العدد الأول} = 9$
$\text{عدد الطرق لاختيار العدد الثاني} = 10 – 1 = 9$

ثم نستخدم قاعدة الضرب لحساب عدد الطرق الإجمالي لاختيار العددين معًا:

$\text{الطرق الإجمالية} = \text{عدد الطرق لاختيار العدد الأول} \times \text{عدد الطرق لاختيار العدد الثاني}$

$\text{الطرق الإجمالية} = 9 \times 9 = 81$

الآن، نحسب احتمالية حدوث الحالة المطلوبة (أي أن يكون لدينا عددين مختلفين) عن طريق قسمة عدد الحالات المؤاتية على الإجمال:

$\text{الاحتمالية} = \frac{\text{عدد الحالات المؤاتية}}{\text{الإجمال}}$

$\text{الاحتمالية} = \frac{81}{90}$

وهكذا تكون الإجابة النهائية هي $\frac{9}{10}$ أو 90%، حيث تمثل النسبة بين عدد الحالات المؤاتية وإجمال الحالات.