احتمالات الأعداد المقسمة في رمي النرد (مسألة رياضيات)

عندما يتم رمي قطعتين نرد عاديتين ذات ستة وجوه، يتم الحصول على الأرقام $a$ و $b$. نريد معرفة احتمال أن يكون العدد الذي يتكون من $a$ و $b$ (حيث $a$ و $b$ هما أرقام) مقسمًا على $X$، كما أن كل من $a$ و $b$ مقسم على $X$.

سنقوم بتفحص الأعداد التي يمكن أن نحصل عليها عند رمي النردين. هناك مجموعة من الأزواج $(a, b)$ التي تجعل العدد $ab$ مكونًا مما هو مقسم على $X$، كما أن $a$ و $b$ كلاهما مقسم على $X$. علينا أن نجد هذه الأزواج ونحسب الاحتمال المطلوب.

أولاً، لنحدد الأعداد التي يمكن أن تكون $a$ و $b$. يمكن أن تكون قيم $a$ و $b$ من 1 إلى 6، لأنهما يمثلان وجوه النردين.

الآن، لكي يكون العدد $ab$ مقسمًا على $X$، فإن $ab$ يجب أن يكون مقسمًا على $X$ أيضًا. بالتالي، يجب أن يكون كل من $a$ و $b$ مقسمًا على $X$.

لحساب القيم الممكنة لـ $X$، سنقوم بتفحص القسمات المشتركة لكل من الأعداد 10، 20، 30، 40، 50، و 60.

1. $X$ يمكن أن يكون 1، لأنها قسمة على أي عدد تعطي نفس العدد.

2. $X$ يمكن أن يكون 2، لأن جميع الأعداد من 1 إلى 6 مقسمة على 2.

3. $X$ يمكن أن يكون 3، لأنه يمكن أن تكون الأزواج التالية مقسمة على 3: (1, 2)، (1, 5)، (2, 1)، (2, 4)، (3, 3)، (3, 6)، (4, 2)، (4, 5)، (5, 1)، (5, 4)، (6, 3)، (6, 6).

4. $X$ يمكن أن يكون 4، لأن جميع الأعداد من 1 إلى 6 مقسمة على 4.

5. $X$ يمكن أن يكون 5، لأن الأزواج التالية مقسمة على 5: (1, 5)، (2, 5)، (3, 5)، (4, 5)، (5, 1)، (5, 2)، (5, 3)، (5, 4).

6. $X$ يمكن أن يكون 6، لأن جميع الأعداد من 1 إلى 6 مقسمة على 6.

بناءً على ما سبق، يمكن لـ $X$ أن تكون 1، 2، 3، 4، 5، أو 6.

ومن المعطيات نعرف أن الاحتمال المطلوب يساوي $\frac{1}{9}$، لذا سنحسب الاحتمال لكل قيمة ممكنة لـ $X$ ونرى أيها تفي بالشرط.

لنفترض أن $X$ يساوي 3، يجب أن نجد كل الأزواج $(a, b)$ التي تلبي الشرط. يتبقى لنا فقط أزواج (3, 3) و (6, 6). لذا الاحتمال المطلوب هو 2/36 = 1/18. وهذا ليس مساويًا لـ $\frac{1}{9}$، لذا $X$ لا يمكن أن يكون 3.

نكرر هذه العملية للقيم الأخرى الممكنة لـ $X$.

إذا، يمكن أن نجد أن القيمة الممكنة لـ $X$ التي تجعل الاحتمال المطلوب يساوي $\frac{1}{9}$ هي $X = 2$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات وقوانين الحساب الاحتمالي، بالإضافة إلى قوانين القسمة والأعداد الصحيحة. سنحل المسألة بالتفصيل مع استخدام القوانين التالية:

1. قوانين القسمة: نستخدم قوانين القسمة لتحديد الأعداد التي يمكن أن تقسم على $X$.

2. قوانين الاحتمالات: نستخدم قوانين الاحتمالات لتحديد الاحتمال المطلوب.

أولاً، دعنا نحدد الأعداد التي يمكن أن تكون لـ $a$ و $b$ عند رمي النردين. يمكن أن تكون قيم $a$ و $b$ بين 1 و 6.

الآن، لكي يكون العدد $ab$ مقسمًا على $X$، فإن $ab$ يجب أن يكون مقسمًا على $X$ أيضًا. بالتالي، يجب أن يكون كل من $a$ و $b$ مقسمًا على $X$.

لحساب القيم الممكنة لـ $X$، سنقوم بتفحص القسمات المشتركة للأعداد 10، 20، 30، 40، 50، و 60.

1. للقسمة على 1: جميع الأعداد مقسمة على 1.

2. للقسمة على 2: جميع الأعداد مقسمة على 2.

3. للقسمة على 3: نحتاج إلى الأعداد (1, 2, 3, 4, 5, 6) التي تكون مقسمة على 3.

4. للقسمة على 4: جميع الأعداد مقسمة على 4.

5. للقسمة على 5: نحتاج إلى الأعداد (1, 5) التي تكون مقسمة على 5.

6. للقسمة على 6: جميع الأعداد مقسمة على 6.

من المعطيات نعرف أن الاحتمال المطلوب يساوي $\frac{1}{9}$، لذا سنحسب الاحتمال لكل قيمة ممكنة لـ $X$ ونرى أيها تفي بالشرط.

لنفترض أن $X$ يساوي 3، يجب أن نجد كل الأزواج $(a, b)$ التي تلبي الشرط. يتبقى لنا فقط أزواج (3, 3) و (6, 6). لذا الاحتمال المطلوب هو 2/36 = 1/18. وهذا ليس مساويًا لـ $\frac{1}{9}$، لذا $X$ لا يمكن أن يكون 3.

نكرر هذه العملية للقيم الأخرى الممكنة لـ $X$.

إذا، يمكن أن نجد أن القيمة الممكنة لـ $X$ التي تجعل الاحتمال المطلوب يساوي $\frac{1}{9}$ هي $X = 2$.