احتمالات الأعداد الأولية (مسألة رياضيات)

لنحسب الاحتمالات المطلوبة بالتفصيل. أولاً، لنحدد عدد البطاقات التي تحتوي على أعداد تكون مضاعفة لـ 2 أو 3 أو 5.

1. أعداد مضاعفة لـ 2: هي كل الأعداد الزوجية من 2 إلى 100.
2. أعداد مضاعفة لـ 3: هي الأعداد 3، 6، 9، …، 99.
3. أعداد مضاعفة لـ 5: هي الأعداد 5، 10، 15، …، 100.

نلاحظ أن هناك أعداد تكررت بين القوائم السابقة. على سبيل المثال، 10، 20، 30، إلخ، تظهر في القوائم لـ 2 و 5، وأيضًا 15، 30، 45، إلخ، تظهر في القوائم لـ 3 و 5. لذا، يجب علينا أن نضيف هذه الأعداد مرة واحدة فقط.

1. عدد الأعداد المضاعفة لـ 2: 50.
2. عدد الأعداد المضاعفة لـ 3: 33.
3. عدد الأعداد المضاعفة لـ 5: 20.

لكن يجب أن نأخذ في الاعتبار أننا علينا أن نحسب الأعداد التي تظهر في كل من القوائم بشكل منفصل ونحسبها مرة واحدة فقط، حتى لا نحسبها مرتين أو ثلاث مرات.

الآن، سنجمع هذه الأعداد: 50 + 33 + 20 = 103.

من الممكن أن يكون هناك بعض الأعداد متكررة، وذلك لأن الأعداد مثل 30 و 60 تكون مضاعفة لـ 2 و 3 و 5 في الوقت نفسه. لكن نظرًا لأننا نحسبها مرة واحدة فقط، فلن يؤثر ذلك على الإجابة.

والآن، لحساب الاحتمال:

إجمالي البطاقات = 100.

الاحتمال = (عدد البطاقات المطلوبة) / (إجمالي البطاقات).

إذاً، الاحتمال = 103 / 100.

الاحتمال = 103/100.

لكن هذا لا يمثل احتمالًا صحيحًا، لأن الاحتمال لا يمكن أن يتجاوز الواحد. وهذا يعني أن هناك خطأ في الحساب.

السبب في ذلك هو وجود بعض الأعداد المشتركة بين قوائم الأعداد المضاعفة لـ 2 و 3 و 5، مما جعلنا نحسبها مرات عدة. ولتصحيح هذا، يجب علينا أن نقوم بطرح هذه الأعداد الزائدة.

الآن، سنقوم بحساب الأعداد المشتركة:

1. الأعداد التي تكون مضاعفة لـ 2 و 3: 6، 12، 18، …، 96. هناك 33 عددًا.
2. الأعداد التي تكون مضاعفة لـ 2 و 5: 10، 20، 30، …، 100. هناك 20 عددًا.
3. الأعداد التي تكون مضاعفة لـ 3 و 5: 15، 30، 45، …، 90. هناك 6 عددًا.

إجمالي الأعداد المشتركة: 33 + 20 + 6 = 59.

الآن، سنطرح هذه الأعداد الزائدة:

103 – 59 = 44.

إذاً، عدد البطاقات المطلوبة هو 44.

الاحتمال = 44 / 100.

الاحتمال = 11 / 25.

إذاً، الاحتمال أن يكون الرقم المختار مضاعفة لـ 2 أو 3 أو 5 هو 11/25.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الاحتمالات والقوانين المتعلقة بها. القوانين التي سنستخدمها هي:

1. قانون الإحتمال الكلي: يقول إن مجموع الاحتمالات لكل النتائج الممكنة في تجربة معينة يساوي واحد.

2. قانون الإحتمال للحوادث المستقلة: يقول إن احتمال حدوث سلسلة من الحوادث المستقلة هو المنتج من احتمال حدوث كل حدث على حدة.

أولاً، لنحسب عدد الأعداد التي تكون مضاعفة لـ 2 أو 3 أو 5 بين الأعداد من 1 إلى 100.

1. الأعداد المضاعفة لـ 2: هي كل الأعداد الزوجية من 2 إلى 100، وهي 50 عددًا.
2. الأعداد المضاعفة لـ 3: هي الأعداد 3، 6، 9، …، 99، وهي 33 عددًا.
3. الأعداد المضاعفة لـ 5: هي الأعداد 5، 10، 15، …، 100، وهي 20 عددًا.

ولكن يجب علينا أن نلاحظ أن هناك بعض الأعداد مشتركة، مثل 30، 60، و 90، فهذه الأعداد ستحسب مرتين. لذا، علينا أن نطرح هذه الأعداد مرة واحدة للحصول على العدد الإجمالي للأعداد.

الآن، لنحسب العدد الإجمالي للأعداد المضاعفة لـ 2، 3، أو 5:
عدد الأعداد = (50 + 33 + 20) – (الأعداد المشتركة)
= (50 + 33 + 20) – (3 أعداد مشتركة)
= 103 – 3
= 100

إذاً، هناك 100 بطاقة تحتوي على أعداد مضاعفة لـ 2، 3، أو 5.

الآن، لحساب الاحتمال، سنستخدم قانون الاحتمال الكلي. احتمال أن يكون الرقم الذي يتم اختياره من بين هذه البطاقات هو مضاعف لـ 2، 3، أو 5 هو:

احتمال = (عدد البطاقات التي تحتوي على أعداد مضاعفة لـ 2، 3، أو 5) / (إجمالي عدد البطاقات)

احتمال = 100 / 100
احتمال = 1

لذا، الاحتمال أن يكون الرقم المختار مضاعفاً لـ 2، 3، أو 5 هو 1.

تمثل هذه الإجابة الحل الصحيح للمسألة، حيث تم استخدام قوانين الاحتمال والتفكير المنطقي لحساب الإحتمال بدقة.