أكبر قوة للعدد 3 في 9^5

المسألة تطلب منا العثور على أكبر عدد صحيح إيجابي $x$ بحيث يكون $3^x$ عاملًا للعدد $9^5$.

لفهم الحل، نحدد أولاً ماهية العدد $9^5$. نعلم أن $9$ يمكن كتابته كـ $3^2$، لذا $9^5$ يكون مماثلاً لـ $(3^2)^5$، وباستخدام خاصية قوانين الأسس ($(a^m)^n = a^{mn}$) يمكننا إعادة كتابته على أنه $3^{2 \times 5}$، أو ببساطة $3^{10}$.

الآن، نحن بحاجة إلى معرفة أكبر قوة على $3$ التي تظهر في هذا العدد $3^{10}$، وهي $x$. يمكننا رؤية أن $x$ يكون $10$، لأن $3^{10}$ يحتوي على عامل $3$ مرتين، وهو أكبر قوة لـ $3$ في $3^{10}$.

إذاً، الحل للمسألة هو $x = 10$، وبالتالي، أكبر عدد صحيح إيجابي $x$ حيث يكون $3^x$ عاملًا لـ $9^5$ هو $10$.

لحل هذه المسألة، دعونا نفحص العدد $9^5$ بمزيد من التفصيل. نعلم أن $9$ يمكن تمثيله على أنه $3^2$. لذا:

$9^5 = (3^2)^5$

وباستخدام قاعدة قوانين الأسس $(a^m)^n = a^{mn}$، نقوم بضرب الأسس:

$9^5 = 3^{2 \times 5} = 3^{10}$

الآن، نعرف أننا بحاجة إلى العثور على أكبر قوة للعدد الأول $3$ في هذا التمثيل. يمكننا تمثيل ذلك بشكل عام كما يلي:

$3^{10} = 3^x \times 3^y$

حيث $x$ هو العدد الذي نبحث عنه، و$y$ هو ما تبقى. نريد أن نحسب قيمة $x$ و $y$ بحيث تكون $x$ هي أكبر قوة لـ $3$ في $3^{10}$.

قانون قوانين الأسس ($a^m \times a^n = a^{m+n}$) يمكننا من جمع الأسس:

$3^{10} = 3^x \times 3^y = 3^{x+y}$

من هنا، ندرك أن $x + y = 10$. ونظرًا لأننا نريد أن يكون $x$ أكبر قوة ممكنة، نجعل $y = 0$، لذا $x = 10$.

باختصار، القوانين المستخدمة في هذا الحل هي:

1. قاعدة قوانين الأسس $(a^m)^n = a^{mn}$.
2. قانون قوانين الأسس ($a^m \times a^n = a^{m+n}$).

وبهذا، نصل إلى أن أكبر عدد صحيح إيجابي $x$ حتى يكون $3^x$ عاملاً لـ $9^5$ هو $10$.