أكبر عدد يقسم مجموع سلسلة حسابية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتساءل عن أكبر عدد صحيح إيجابي يجب أن يقسم مجموع أول عشرة أعداد في أي سلسلة حسابية تحتوي على أعداد صحيحة إيجابية.

لنحل هذه المسألة، دعونا نفترض أن لدينا سلسلة حسابية بتسلسل عام $a, a + d, a + 2d, \ldots, a + 9d$ حيث $a$ هو الرقم الأول في السلسلة و $d$ هو الفارق الثابت بين الأعداد.

نحتاج إلى حساب مجموع هذه السلسلة، والذي يكون:

$S = 10a + 45d$

الآن، نحن بحاجة إلى العثور على أكبر عدد صحيح يقسم هذا المجموع. للقيام بذلك، يجب أن نحاول تبسيط هذا التعبير.

نعلم أن 10 يقسم بسهولة أي عدد، لذلك لا نأخذه في اعتبارنا. الآن نحاول تبسيط التعبير $45d$. نجد أن 3 يقسم 45، لذا يمكننا كتابة $45d$ على النحو التالي:

$45d = 3 \times 15d$

الآن نحن نرى أن العدد 15 يحتوي على 3 كعامل، لذا يمكننا كتابة $15d$ كـ $3 \times 5d$.

التعبير $5d$ يحتوي على عامل 5، ولكن لا يحتوي على 3، لذا يمكننا تركه كما هو.

التعبير $a + 45d$ يصبح بالتالي:

$a + 45d = a + 3 \times 15d = a + 3 \times (3 \times 5d)$

الآن يمكننا أن نرى أن العدد 3 يقسم كل مصطلح في هذا التعبير. لذا، يمكننا كتابة $a + 45d$ على النحو التالي:

$a + 45d = 3 \times (a + 3 \times 5d)$

التعبير $a + 3 \times 5d$ يحتوي على عامل 5، ولكن لا يحتوي على 3، لذا يمكننا تركه كما هو.

بالتالي، أكبر عدد صحيح يقسم مجموع الأعداد في أي سلسلة حسابية مكونة من عدد صحيح إيجابي وفارق ثابت هو 3.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الحساب الجبري والقوانين المتعلقة بقسمة الأعداد. الهدف هو تحليل الصيغة العامة لمجموع العناصر في السلسلة الحسابية وتبسيطها بحيث نستطيع العثور على أكبر عدد صحيح يقسم هذا المجموع.

للبداية، لنكتب صيغة مجموع العناصر في السلسلة. إذا كانت السلسلة لديها عناصر $a, a+d, a+2d, \ldots, a+9d$، فإن مجموعها يكون:

$S = a + (a+d) + (a+2d) + \ldots + (a+9d)$

نلاحظ أن هناك عدد 10 من الأعداد في السلسلة.

الآن، يمكننا تجميع الأعداد المتشابهة في السلسلة:

$S = 10a + d(1+2+3+ \ldots + 9)$

نستخدم القاعدة المعروفة التي تقول أن مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$ يكون $\frac{n(n+1)}{2}$. هنا، $n$ هو عدد الأعداد في السلسلة، أي 9.

إذاً، يكون مجموع الأعداد في السلسلة:

$S = 10a + d \times \frac{9 \times 10}{2}$

نبسط هذا التعبير:

$S = 10a + 45d$

الآن، نريد أن نجعل هذا التعبير قابلًا للتقسيم على أكبر عدد صحيح ممكن. يُلاحظ أن العدد 10 يقسم بسهولة، لذا لا نأخذه في اعتبارنا.

نركز على الجزء الآخر، $45d$. نعلم أن 3 يقسم 45 بدون باقي، لذلك يمكننا كتابة:

$45d = 3 \times 15d$

الآن، نستمر في تفكيك 15d، حيث يمكن كتابتها كـ $3 \times 5d$. يمكن ترك 5d كما هو، لأن 5 لا يحتوي على 3 كعامل.

بهذا، وصلنا إلى صيغة قابلة للتقسيم على 3:

$S = 10a + 45d = 3 \times (a + 3 \times 5d)$

القوانين المستخدمة هي:

1. قانون جمع الأعداد في سلسلة حسابية.
2. قاعدة مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى $n$.
3. تقسيم الأعداد وتبسيط التعابير.

وبذلك، نكون قد حللنا المسألة بطريقة تفصيلية باستخدام الجبر والقوانين الرياضية.