أقصى مشترك لعددين يجمعان إلى 1001 (مسألة رياضيات)

إذا كانت مجموع عددين صحيحين موجبين $a$ و $b$ يساوي 1001، فما هو أكبر قيمة ممكنة لأكبر مشترك لهما؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام فكرة تقسيم العددين إلى عوامل أولية. فإذا كانت قواسم العدد 1001 تعرف، يمكننا استخدام هذه المعلومات لتحديد العامل المشترك الأكبر بين $a$ و $b$.

لنقم أولاً بتحديد عوامل الرقم 1001. يمكننا ملاحظة أن 1001 تساوي 7 × 11 × 13. الآن، نحاول توزيع هذه العوامل بين $a$ و $b$ بحيث نحصل على أكبر مشترك لهما. يمكننا أن نجد أن القيم الممكنة لـ $a$ و $b$ هي، على سبيل المثال، (7 × 143، 11 × 91) أو (13 × 77، 7 × 143).

الآن، لنجد أكبر مشترك. في هذه الأمثلة، يكون أكبر مشترك هو العامل الأولي الوحيد الذي يتشابه بين $a$ و $b$، والذي هو 7.

لذا، يكون القاسم المشترك الأكبر لـ $a$ و $b$ هو 7. وبالتالي، الإجابة هي أن أكبر قيمة ممكنة للمشترك الأكبر هي 7.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مفهوم أقل عوامل مشتركة (GCD) للأعداد.

أولاً، لنحسب القواسم الأولية للعدد 1001. نجد أن 1001 يمكن أن يكون مكتوبًا على النحو التالي: $1001 = 7 \times 11 \times 13$.

الآن، لنقم بتوزيع هذه العوامل بين $a$ و $b$. لأن مجموع $a$ و $b$ هو 1001، يمكننا أن نكتب:

$a + b = 1001$

لنحدد العوامل المشتركة بين $a$ و $b$، يمكننا استخدام القاعدة التالية: إذا كان $\text{GCD}(m, n) = d$، فإن $\text{GCD}(am, an) = |a| \times d$ حيث $a$ عدد صحيح.

في هذه المسألة، نستخدم هذه القاعدة مع $m = 7 \times 11$ و $n = 13$. لذا،

$\text{GCD}(7 \times 11, 13) = \text{GCD}(77, 13) = 1$

الآن، لنقم بتطبيق هذا على $a$ و $b$:

$\text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(7 \times 11 \times x, 13 \times y)$

حيث $x$ و $y$ عددين صحيحين. وبما أن العوامل المشتركة بين 77 و 13 هي 1، نجد أن:

$\text{GCD}(a, b) = |7 \times 1| = 7$

إذا كانت $a$ و $b$ هما عددين صحيحين إيجابيين يجمعان إلى 1001، فإن أكبر قيمة ممكنة للمشترك الأكبر بينهما هي 7.

القوانين المستخدمة في الحل هي قوانين الجمع والضرب في الأعداد الصحيحة وقاعدة حساب المشترك الأكبر.