أقصى قيمة مطلقة لمجموع الإحداثيات (مسألة رياضيات)

إذا كان $x^2 + y^2 = 1$، فما هو أكبر قيمة ممكنة للتعبير $|x| + |y|$؟

لحل هذه المسألة، دعنا نبدأ بتحليل الشروط المعطاة. المعادلة $x^2 + y^2 = 1$ تمثل دائرة في المستوى الكارتيزي، مركزها في الأصل $(0,0)$ ونصف قطرها هو $1$، حيث أن مجموع مربعي الإحداثيات $x$ و $y$ يساوي الواحد. يمكننا أيضًا فهم هذه المعادلة على أنها مجموع القيم المطلقة لـ $x$ و $y$ متساوية للواحد، مما يعني أنه يجب أن تكون النقطة $(x, y)$ على محيط الدائرة.

الآن، هدفنا هو تحديد أكبر قيمة ممكنة للتعبير $|x| + |y|$. نعلم أن القيم المطلقة دائمًا موجبة، لذا فإن أكبر قيمة ممكنة لـ $|x| + |y|$ ستكون عندما يكون كلا الـ $x$ و $y$ أكبر قيمة مطلقة ممكنة.

لنركز أولاً على الربع الأول من المستوى الكارتيزي حيث تكون القيم إيجابية لكلا الـ $x$ و $y$. في هذه الحالة، يمكننا كتابة $|x| = x$ و $|y| = y$، لذا $|x| + |y| = x + y$.

الآن، لاحظ أن مجموع $x$ و $y$ لا يمكن أن يتجاوز قطر الدائرة التي هي $1$، بمعنى آخر، $x + y \leq 1$.

بالنظر إلى الربع الثاني، حيث يكون $x$ سالبًا و $y$ إيجابيًا، يصبح $|x| = -x$ و $|y| = y$، لذا $|x| + |y| = -x + y$، وبالمثل $-x + y \leq 1$.

نفس السياق ينطبق على الربعين الثالث والرابع.

لذلك، يكون الحد الأقصى لـ $|x| + |y|$ هو $1$ عندما يكون $x$ أو $y$ أو كلاهما يساوي صفر، أو عندما تكون إحدى الإحداثيات $1$ والأخرى صفر.

لختم الإجابة، فإن أكبر قيمة ممكنة للتعبير $|x| + |y|$ هي $1$.

لحل مسألة تحديد أكبر قيمة ممكنة للتعبير $|x| + |y|$ عندما $x^2 + y^2 = 1$، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر والهندسة الرياضية.

1. قانون مجموع القيم المطلقة: قيمة المجموع المطلق لأي عددين $a$ و $b$ هي ما يساوي $|a| + |b|$.

2. معادلة دائرة: المعادلة $x^2 + y^2 = r^2$ تمثل دائرة في المستوى الكارتيزي مركزها في النقطة $(0,0)$ ونصف قطرها $r$.

3. القيم المطلقة والمعادلات: إذا كانت $|x| = a$، فإما $x = a$ إذا كان $x$ موجبًا، وإما $x = -a$ إذا كان $x$ سالبًا.

الآن، لنحل المسألة بتفصيل أكبر:

بما أن $x^2 + y^2 = 1$، نعرف أن جميع النقاط $(x, y)$ التي تقع على حدود الدائرة يجب أن ترضي هذه المعادلة.

الهدف هو تحديد الحد الأقصى لـ $|x| + |y|$. يتغير هذا التعبير بناءً على قيم $x$ و $y$، لكننا نعلم أن القيم المطلقة للأعداد دائمًا إيجابية.

في الربع الأول من المستوى الكارتيزي (حيث $x$ و $y$ إيجابيان)، يصبح التعبير $|x| + |y| = x + y$.

لكن، الحد الأقصى لـ $x + y$ يحدده قطر الدائرة الواحدة، أي $x + y \leq 1$.

لذا، أعلى قيمة ممكنة لـ $|x| + |y|$ في هذا الربع هي $1$.

نفس المبدأ ينطبق على الربع الثاني والربعين الثالث والرابع. في كل ربع، يكون الحد الأقصى لـ $|x| + |y|$ هو $1$.

بالتالي، الإجابة النهائية هي أن أكبر قيمة ممكنة للتعبير $|x| + |y|$ عندما $x^2 + y^2 = 1$ هي $1$.