أقصى قيمة لتعبير رياضي (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $a، b، c$ هي أعداد حقيقية غير سالبة بحيث $a^2 + b^2 + c^2 = X$. يطلب منا أن نجد القيمة القصوى للتعبير التالي:
$2ab \sqrt{2} + 2bc.$

لنقم بتحويل التعبير الذي يجب تحديده إلى صيغة تستخدم في حساب القيم القصوى. يمكننا محاولة إيجاد علاقة تتيح لنا ذلك بمساعدة تقنية الإكمال إلى مربع.

نحن نعرف أن
$(a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2 = (a\sqrt{2})^2 + b^2 + 2bc + c^2.$

هذا يشبه بنية المعادلة التي نحتاجها، والتي هي $a^2 + b^2 + c^2 = X$. ومن ثم، قد نحاول أن نحصل على شيء مشابه للمتغير $X$ في هذه العلاقة. نضيف ونطرح ونقسم الطرف الأيسر والطرف الأيمن من المعادلة الأصلية لنحصل على ما نريد:
$2ab\sqrt{2} + 2bc = (a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2 – (a^2 + b^2 + c^2).$

بما أننا نبحث عن القيمة القصوى، فإننا نستخدم المتغير $X$ بدلاً من القيم المحددة لـ $a^2 + b^2 + c^2$. بالتالي، نحصل على:
$2ab\sqrt{2} + 2bc = (a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2 – X.$

بناءً على المعطيات، القيمة المطلوبة للتعبير هي القيمة القصوى التي يمكن أن يتخذها. ومن ثم، نحتاج إلى أن نعثر على أكبر قيمة يمكن أن يأخذها التعبير $(a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2$.

القيمة القصوى للتعبير $(a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2$ هي عبارة عن مجموع مربعين. وفي الرياضيات، القيمة القصوى لمجموع مربعين تحدث عندما تكون الأعداد المستقلة متساوية.

بالتالي، نجد أن:
$a\sqrt{2}b = b+c.$

الآن، يمكننا استخدام الشرط الأول $a^2 + b^2 + c^2 = X$ لتبديل العبارة بما يوافقها:
$a^2 + 2ab\sqrt{2}b + 2b^2 = X.$

وباستخدام العلاقة التي وجدناها سابقًا، نستطيع أن نعبر عن العبارة التي نريدها بالشكل التالي:
$a^2 + 2ab\sqrt{2}b + 2b^2 = a^2 + (b+c)^2.$

وبما أننا نعرف أن $a^2 + b^2 + c^2 = X$، نستنتج أن:
$a^2 + (b+c)^2 = X.$

بالتالي، القيمة المطلوبة للتعبير $2ab\sqrt{2} + 2bc$ هي:
$(a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2 – X = (b+c)^2 + (b+c)^2 – X = 2(b+c)^2 – X.$

ومن المعطيات، نعرف أن القيمة المطلوبة هي 3. لذا:
$2(b+c)^2 – X = 3.$

نستنتج من ذلك أن
$2(b+c)^2 – 3 = X.$

إذًا، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $2(b+c)^2 – 3$.

لحل المسألة المعطاة، سنستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية للوصول إلى الحل الصحيح. سنقوم بالتحليل والتفسير التالي:

1. الاستراتيجية العامة: نريد العثور على قيمة $X$ التي تمثل مجموع مربعات الأعداد $a، b، c$ والتي تحقق أقصى قيمة للتعبير $2ab\sqrt{2} + 2bc$.

2. استخدام معادلة مجموع مربعات: الشرط الأساسي المعطى هو $a^2 + b^2 + c^2 = X$.

3. تحليل التعبير المطلوب: نريد أن نحصل على قيمة تعبير $2ab\sqrt{2} + 2bc$.

4. تطبيق التعبير المتشابه للمربعات: نستخدم تقنية إكمال المربع لتحويل التعبير المعطى إلى مجموعة من المربعات.

5. استخدام الشروط والعلاقات المشتقة: نستفيد من العلاقات المشتقة التي نحصل عليها من تطبيق التقنيات الرياضية للوصول إلى القيم المطلوبة.

باستخدام هذه الخطوات، نبدأ بتحويل التعبير المعطى إلى مجموعة من المربعات باستخدام تقنية إكمال المربع:

$2ab\sqrt{2} + 2bc = (a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2 – X.$

الآن، نريد العثور على أقصى قيمة للتعبير $(a\sqrt{2}b)^2 + (b+c)^2$، والتي تحدث عندما تكون $a\sqrt{2}b = b+c$.

بما أن $a^2 + b^2 + c^2 = X$، يمكننا استخدام هذا الشرط لتبديل العبارة والحصول على:

$a^2 + 2ab\sqrt{2}b + 2b^2 = a^2 + (b+c)^2.$

من هنا، نجد أن $X = a^2 + (b+c)^2$.

ومن الشرط المعطى، نعرف أن $2ab\sqrt{2} + 2bc = 3$.

لذا، نحصل على المعادلة التالية:

$2(b+c)^2 – X = 3.$

وبالتالي، القيمة المطلوبة للمتغير $X$ هي $2(b+c)^2 – 3$.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

• قانون مجموع مربعات الأعداد.
• تقنية إكمال المربع.
• استخدام العلاقات المتشابهة للمربعات.
• استخدام الشروط المعطاة لتحديد القيم.
• التعامل مع المتغيرات وتبديل العبارات بما يتوافق مع الشروط المعطاة.

هذه الخطوات والقوانين تساعد في فهم المسألة وحلها بدقة وبطريقة منطقية.