أقصى طول للعدد الصحيح (مسألة رياضيات)

طول العدد الصحيح x يشير إلى عدد العوامل الأولية، وليس بالضرورة أن تكون متميزة، التي يحتوي عليها x. على سبيل المثال، إذا كان x يساوي 60، فإن طول x سيكون 4 لأن 60 = 2 × 2 × 3 × 5. السؤال هو: ما هو أقصى طول ممكن للعدد الصحيح z إذا كان z أقل من 1,080؟

الحل:

لنفحص أولاً العدد 1,080 ونحسب طوله. نعلم أن 1,080 = 2^3 × 3^3 × 5. وبما أننا نريد أقصى طول ممكن، يمكننا أن نستنتج أن العدد الذي يحتوي على أكبر عدد من العوامل الأولية سيكون ذلك الذي يحتوي على كل قوة للأعداد الأولية حتى تكون الأسس لديها أقل من أو يساوي الأسس المقابلة في 1,080.

لدينا:

• 2 يظهر في 1,080 مرتين (2^2).
• 3 يظهر في 1,080 ثلاث مرات (3^3).
• 5 يظهر في 1,080 مرة واحدة (5^1).

لذلك، الطول الكلي لعدد 1,080 هو 2 + 3 + 1 = 6.

الآن، نحن نبحث عن عدد z الذي يكون أقل من 1,080 ويحتوي على أكبر عدد من العوامل الأولية. لتحقيق ذلك، نقوم بتحليل العدد 1,080 عندما تكون الأسس أقل من الأسس المقابلة في 1,080.

نجد أن 2^2 و 3^2 هما الأساسين المحددتين بالقيمة 1,080. إذاً، نقوم بتجاوز القوى الثالثة ونأخذ 2 في الأس 2 و 3 في الأس 2. وبما أننا نريد طولًا، فإن الطول الكلي سيكون:

2 + 2 = 4.

لذا، أقصى طول ممكن للعدد الصحيح z إذا كان z أقل من 1,080 هو 4.

في هذه المسألة، نواجه مفهوم “طول العدد الصحيح”، الذي يعبر عن عدد العوامل الأولية التي يحتويها العدد، ولا يتعلق بما إذا كانت هذه العوامل متميزة أم لا. سنقوم بحساب أقصى طول ممكن للعدد الصحيح z إذا كان z أقل من 1,080.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قوانين عدة:

1. تحليل العدد:
   نقوم بتحليل العدد 1,080 إلى عوامله الأولية. في هذه الحالة، يمكن تمثيل 1,080 كمضاعفة لأساسات أعداد أولية مختلفة.

2. حساب الطول:
   نقوم بحساب عدد العوامل الأولية لكل أساس، ونجمعها للحصول على الطول الإجمالي.

3. استنتاج الطول الأقصى:
   نستنتج الطول الأقصى عندما نحاول استخدام أقل الأسس الممكنة لتمثيل العدد.

الآن، لنقم بتوضيح الحل:

1. تحليل العدد 1,080:
   1,080 = 2^3 × 3^3 × 5.

2. حساب الطول:

   • للعدد 2، الطول هو 3.
   • للعدد 3، الطول هو 4.
   • للعدد 5، الطول هو 2.

   الطول الإجمالي = 3 + 4 + 2 = 9.

3. استنتاج الطول الأقصى:

   • نجد الأساسين 2 و 3 هما الحد الأقصى للأسس.
   • نأخذ الأس 2 مرتين (2 في الأس 2) والأس 3 مرتين (3 في الأس 2).
   • الطول الكلي = 2 + 2 = 4.

القوانين المستخدمة:

• قانون تحليل العدد إلى عوامل أولية.
• قانون حساب الطول بناءً على عدد العوامل الأولية لكل أساس.
• استخدام الأسس الأقل للحصول على الطول الأقصى.

باختصار، تمثل هذه العمليات الرياضية استخدام القوانين الأساسية لتحليل وحساب الطول، مع التركيز على استنتاج الأساسين الأقل للحصول على أقصى طول ممكن.