أقصى طول لشعاع OB في زاوية 30 درجة (مسألة رياضيات)

نُعطى في هذه المسألة زاوية بين شعاعين متقاطعين تساوي 30 درجة، ونعلم أن النقطة أ تقع على أحد الشعاعين، والنقطة ب تقع على الشعاع الآخر، وأن طول القطعة AB يساوي 1 وحدة. المطلوب هو إيجاد أقصى طول يمكن أن يكون عنده الشعاع OB.

لنبدأ بتحديد العلاقات الهندسية المتوافقة مع هذا السيناريو. إذا قمنا برسم الزاوية بين الشعاعين وقطعة AB، فإننا نلاحظ أنه إذا كانت طول AB يساوي 1، فإن الجزء المتبقي من الشعاع OB هو مجموع طول OB وجزء من طول BA.

نستطيع استخدام الجيومتريا لحساب طول جزء OB الذي يمثل الجزء المتبقي من OB بعد أن تم تشكيل القطعة AB. نعلم أن الشعاعين المتقاطعين يقسمان الزاوية بشكل متساوي، لذلك فإن كل منهما يكون 15 درجة.

نعلم أن القطعة AB تمثل قطعة من المثلث المتساوي الضلعي، لذا فإن طول القطعة AB يكون 1، وبما أنها جزء من المثلث المتساوي الضلعي، فإن طول الجزء BA يكون أيضًا 1.

الآن، نحتاج إلى حساب الجزء OB. يمكننا استخدام الجيومتريا لتحديد النسبة بين الجزء OB والجزء BA. نظرًا لأن الزاوية بين OB و BA تساوي 15 درجة (نص الزاوية بين الشعاعين)، فإننا نستخدم الجيومتريا للعثور على النسبة المناسبة.

يمكننا استخدام دالة الجيومتريا التي ترتبط بزاوية الـ 15 درجة والنسبة المطلوبة. لحساب النسبة، نستخدم الدالة التالية:

$\text{النسبة} = \frac{\text{طول } OB}{\text{طول } BA}$

$\text{النسبة} = \frac{\text{طول } OB}{1}$

نعرف أن:

$\cos(15^\circ) = \frac{\text{طول } BA}{\text{طول } OB}$

نستخدم القيمة المعروفة لـ $\cos(15^\circ)$ التي تساوي $\sqrt{\frac{6+\sqrt{3}}{8}}$.

إذاً:

$\sqrt{\frac{6+\sqrt{3}}{8}} = \frac{1}{\text{طول } OB}$

$\text{طول } OB = \frac{1}{\sqrt{\frac{6+\sqrt{3}}{8}}}$

بعد الحساب:

$\text{طول } OB \approx 2.613$

إذاً، الطول الأقصى الذي يمكن أن يكون عنده الشعاع OB هو حوالي 2.613 وحدة.

في هذه المسألة، نواجه زاوية بين شعاعين تساوي 30 درجة، ونحن بحاجة إلى حساب الطول الأقصى الذي يمكن أن يكون عند الشعاع OB مع الشروط المعطاة. سنستخدم المثلثات المتشابهة والقوانين المتعلقة بالزوايا والأضلاع في الحل.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الجيومتريا الأساسي: في المثلث المتشابه، نسب طول الأضلاع متساوية لنفس الزاوية.
2. معرفة قيم الزوايا الخاصة بالمثلثات المتشابهة.

الخطوات:

1. ابدأ برسم الزاوية بين الشعاعين. تكون هذه الزاوية 30 درجة.
2. نظرًا لأننا نعلم أن القطعة AB تكون جزءًا من مثلث متساوي الضلعين، فإن طول القطعة AB هو 1.
3. نستخدم المثلثات المتشابهة لحساب النسبة بين الأضلاع.
4. نستخدم دالة الجيومتريا (cosine) لحساب النسبة بين طول الجزء OB وطول الجزء BA.
5. نستخدم القيمة المعروفة لـ $\cos(15^\circ)$ لحساب الطول المطلوب للشعاع OB.

باختصار، نستخدم المثلثات المتشابهة وقانون الجيومتريا لحساب الطول المطلوب. باستخدام الزوايا المعطاة والمعلومات عن الأضلاع، يمكننا تحديد النسبة بين الأضلاع وحساب الطول المطلوب بناءً على ذلك.