أقصى حجم لأسطوانة داخل صندوق (مسألة رياضيات)

الصندوق المستطيل يقيس 8 أقدام في الطول، 14 قدمًا في العرض، و16 قدمًا في الارتفاع. سنقوم بإنشاء خزان غاز أسطواني للشحن داخل هذا الصندوق، وسيكون الأسطوانة مستقيمة عند وضع الصندوق على واحدة من وجوهه الستة. المطلوب هو معرفة الشعاع الذي يحقق أكبر حجم ممكن للأسطوانة.

لحساب الحجم الأكبر، نحتاج إلى استخدام الرياضيات والتفكير الهندسي. الحجم V للأسطوانة يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

$V = \pi r^2 h$

حيث $r$ هو شعاع الأسطوانة، و $h$ هو ارتفاعها. في هذه الحالة، يجب أن تكون قيم $r$ و $h$ تحقق أقصى حجم ممكن.

بما أن الأسطوانة ستتمركز داخل الصندوق، يجب أن يكون طولها $h$ أقل من الارتفاع الداخلي للصندوق. لذلك:

$h \leq 16 \, \text{feet}$

وبما أن الأسطوانة ستقف على واحدة من وجوه الصندوق، يجب أن يكون قطر الأسطوانة $2r$ أقل من أقل قيمة بين الطول والعرض الداخليين للصندوق. لذلك:

$2r \leq \min(8 \, \text{feet}, 14 \, \text{feet})$

الآن، لدينا نظام من المعادلات والتفاوتات. يمكننا استخدامها للعثور على قيمة $r$ التي تحقق أقصى حجم للأسطوانة.

بعد حساب القيم وحل المعادلات، نجد أن الشعاع $r$ يجب أن يكون $r = 4$ أقدام لتحقيق أكبر حجم ممكن للأسطوانة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحديد القيود واستخدام القوانين الهندسية والرياضية المناسبة.

القيود:

1. يجب أن تكون الأسطوانة داخل الصندوق، لذا ارتفاع الأسطوانة ($h$) يجب أن يكون أقل من ارتفاع الصندوق (16 قدمًا).
2. الأسطوانة ستقف على وجه الصندوق، لذا قطر الأسطوانة ($2r$) يجب أن يكون أقل من الأبعاد الداخلية للصندوق (8 قدم في الطول و14 قدم في العرض).

القوانين والمعادلات:

1. حجم الأسطوانة ($V$) يمكن حسابه باستخدام الصيغة $V = \pi r^2 h$.
2. القيد الأول: $h \leq 16$ (ارتفاع الأسطوانة يجب أن يكون أقل من ارتفاع الصندوق).
3. القيد الثاني: $2r \leq \min(8, 14)$ (قطر الأسطوانة يجب أن يكون أقل من الأبعاد الداخلية للصندوق).

الخطوات:

1. نبدأ بتعريف المتغيرات: $r$ (شعاع الأسطوانة) و $h$ (ارتفاع الأسطوانة).
2. نكتب المعادلة لحجم الأسطوانة: $V = \pi r^2 h$.
3. نضع القيود: $h \leq 16$ و $2r \leq \min(8, 14)$.
4. نقوم بحساب القيم الممكنة لـ $r$ و $h$ باستخدام القيود.
5. نستخدم القيم لحساب حجم الأسطوانة.
6. نجد القيم التي تحقق أقصى حجم للأسطوانة.

الحل:

1. نبدأ بتحديد قيم $r$ و $h$ باستخدام القيود.
   • من القيد الأول: $h \leq 16$، لذا يمكن أن يكون $h$ أي قيمة تكون أقل من أو تساوي 16.
   • من القيد الثاني: $2r \leq \min(8, 14)$، لذا $r \leq \min(4, 7)$، لكن لأننا نبحث عن أقصى حجم، نختار $r = 4$ (لأنه هو القيمة الأقل).
2. نستخدم القيم في معادلة حجم الأسطوانة: $V = \pi \times 4^2 \times 16 = 256\pi$ قدم مكعب.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ الحجم للأسطوانة ($V = \pi r^2 h$).
2. القيود المكانية للأسطوانة داخل الصندوق.