أعلى قوة قسمية لعدد صحيح (مسألة رياضيات)

إذا كان $n$ عدد صحيح إيجابي وكانت $n^2$ قابلة للقسمة على 18، فما هو أكبر عدد صحيح إيجابي يمكن أن يقسم $n$ عليه؟

حل المسألة:
لنبدأ بتحليل الشرط المعطى: $n^2$ قابلة للقسمة على 18. يمكننا تفكيك 18 إلى عواملها الأولية لنفهم هذا الشرط. 18 يتكون من 2 × 3^2، أي أنه يحتوي على عاملين رئيسيين: 2 و 3.

الآن لننظر إلى $n^2$، الذي يكون عبارة عن مربع لعدد صحيح $n$. إذا كانت $n^2$ قابلة للقسمة على 18، فإنه يجب أن يحتوي على جميع عوامل 18 في تحليله.

بما أن 18 تحتوي على عامل 3، يجب أن يحتوي $n^2$ على عامل 3، وهذا يعني أن العدد $n$ بذلك يحتوي على عامل 3.

لكنه لا يحتوي على عامل 2، لأن $n^2$ يمكن أن يحتوي على عامل 2 بشكل مزدوج (مثل 2 × 2 = 4) ولكن لا يمكن أن يحتوي على عامل واحد من 2.

إذاً، العدد $n$ يحتوي على عامل 3 ولا يحتوي على عامل 2. لكن السؤال يطلب منا أن نجد أكبر عدد صحيح إيجابي يمكن أن يقسم $n$. الإجابة هي أن $n$ يجب أن يكون مضاعفاً لعامل 3 الذي يحتوي عليه. إذا كان $n$ يساوي $3 \times k$ حيث $k$ هو عدد صحيح، فإن أكبر عدد يمكن أن يقسم $n$ هو $3$، لأنه يقسم كل عامل 3 في $n$، وهو العدد الأكبر الذي يمكن أن يظهر في عامل $n$ الذي هو $3$ نفسه.

إذا كان $n = 3 \times k$، فإن أكبر عدد يمكن أن يقسم $n$ هو $3$، حيث $k$ يمكن أن يكون أي عدد صحيح.

بسم الله الرحمن الرحيم،

نأتي الآن لحل هذه المسألة بمزيد من التفاصيل والتحليل الرياضي. نعلم أن $n^2$ قابلة للقسمة على 18. لنحلل هذا الشرط باستخدام القوانين الرياضية.

لنبدأ بكتابة عاملة 18 كمجموعة من العوامل الأولية:
$18 = 2 \times 3^2$

الآن، نعلم أن $n^2$ قابلة للقسمة على 18، وهذا يعني أن $n^2$ يمكن تعبيرها كمضاعف لعاملات 18. لنكتب $n^2$ باستخدام تلك العوامل:
$n^2 = 2^a \times 3^b$
حيث $a$ و $b$ هما أعداد صحيحة.

الآن، لأننا نريد أن نعرف ما هو أكبر عدد يمكن أن يقسم $n$، يجب أن نأخذ في اعتبارنا عامل 3. نعلم أنه إذا كان $n^2$ يحتوي على عامل 3، فإن $n$ يحتوي على عامل 3. لكننا نريد أكبر عدد يقسم $n$، لذلك نحتاج إلى تحديد القوة الأكبر لعامل 3 في $n^2$.

إذاً، نقوم بمقارنة الأس الذي يرمز لعامل 3 في عوامل 18 (الموجودة في $n^2$) بالأس الذي سيكون لعامل 3 في $n$، ونختار القوة الأكبر من بينهما. في هذه الحالة، هو الأس الذي يظهر في 18، وهو 2. إذاً، نعلم أن:
$b \geq 2$

الآن، نكتب $n$ باستخدام تلك العوامل:
$n = 2^{\frac{a}{2}} \times 3^{\frac{b}{2}}$

نريد أن نجد أكبر عدد يمكن أن يقسم $n$، لذلك نركز على عامل 3:
$n = 2^{\frac{a}{2}} \times 3^{\frac{b}{2}} = 3^{\frac{b}{2}} \times (\text{عوامل أخرى})$

الآن، نعلم أن $b \geq 2$، لذلك الأس الأكبر الذي يمكن أن يقسم $n$ هو 3. وبالتالي، الإجابة هي أن أكبر عدد صحيح يمكن أن يقسم $n$ هو 3.

القوانين المستخدمة:

1. تحليل العدد إلى عوامل أولية.
2. قاعدة أسية: إذا كانت $a^m \times a^n$، فإنها تكون $a^{m+n}$.
3. قاعدة أسية للتقسيم: إذا كانت $a^m$ قابلة للقسمة على $a^n$، فإن الناتج يكون $a^{m-n}$.
4. استخدام العوامل الأولية لتحديد العوامل المشتركة.