أعداد معكوسة في الحساب المودولوي (مسألة رياضيات)

عندما نبحث عن الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ التي أقل من 12 وتُحقق الاطمئنان $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لبعض العدد الصحيح $x$ ، نجد أن هذه الأعداد هي الأعداد التي تكون عكسية ضمن حلقة القسمة $\pmod{12}$. لحل هذه المسألة، نستخدم خوارزمية أقلّ مشترك موجب (إختصاراً GCD) للعثور على العنصر المعكوس.

أولاً، نبحث عن الأعداد $a$ التي لها قيمة GCD مع 12 تساوي 1. هذا يعني أن $a$ و 12 متفرّقتان. بما أن 12 هو عدد صحيح، فإن الأعداد $a$ التي تُفي بشرط GCD يجب أن تكون متفرّقة عن 12.

نبدأ بتحليل قيم الـ $a$ بدءاً من 1 إلى 11. نستخدم خوارزمية GCD للتحقق مما إذا كانت قيمة $a$ تفي بالشرط المطلوب. لتحقيق هذا، نقوم بحساب GCD بين $a$ و 12، ونتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي 1.

الآن، لنقم بحساب ال GCD بين $a$ و 12 لكل قيمة من 1 إلى 11:

• GCD(1, 12) = 1
• GCD(2, 12) = 2
• GCD(3, 12) = 3
• GCD(4, 12) = 4
• GCD(5, 12) = 1
• GCD(6, 12) = 6
• GCD(7, 12) = 1
• GCD(8, 12) = 4
• GCD(9, 12) = 3
• GCD(10, 12) = 2
• GCD(11, 12) = 1

من القائمة أعلاه، يمكننا أن نرى أن الأعداد $a$ التي تفي بشرط GCD مع 12 تساوي 1 هي: 1, 5, 7, 11.

إذن، هناك 4 أعداد صحيحة موجبة $a$ تقل أو تساوي 12 تُحقق الاطمئنان $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لبعض العدد الصحيح $x$.

لحل المسألة وإيجاد الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ التي تقل أو تساوي 12 وتُحقق الاطمئنان $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لبعض العدد الصحيح $x$، سنستخدم عدة قوانين ومفاهيم في الجبر العددي وحساب المودولو. هذه القوانين تشمل:

1. الخوارزمية الأقلّ مشترك موجب (GCD): نستخدم GCD للتحقق مما إذا كانت قيمة $a$ تفي بالشرط المطلوب لحل المعادلة $ax \equiv 1 \pmod{12}$.
2. العنصر المعكوس في الحساب المودولوي: البحث عن العنصر المعكوس من خلال حساب العكس التكافؤي.

الآن، دعنا نقوم بالتحليل بالتفصيل:

أولاً، نعلم أن المعادلة $ax \equiv 1 \pmod{12}$ ستكون صحيحة إذا وجدنا عددًا صحيحًا $x$ يجعل الناتج $ax$ يساوي 1 عندما يتم قسمه على 12.

ثانياً، للعثور على الأعداد $a$ التي تفي بالشرط المطلوب، نستخدم خوارزمية GCD. نقوم بحساب GCD بين $a$ و 12 لجميع القيم من 1 إلى 11.

الأعداد $a$ التي لها GCD مع 12 تساوي 1 تُفي بالشرط المطلوب، لأنها تكون متفرقة عن 12 وبالتالي لها عنصر معكوس في حساب المودولو.

بعد ذلك، نقوم بحساب GCD لكل قيمة من 1 إلى 11 ونحصل على النتائج التي سبق ذكرها في الإجابة السابقة.

أخيرًا، نستنتج أن هناك 4 أعداد صحيحة موجبة $a$ تقل أو تساوي 12 تُحقق الاطمئنان $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لبعض العدد الصحيح $x$.