أعداد متكررة عند القسمة على 12 (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة n بين 1 و11 (شاملاً) التي تؤدي إلى كسر عشري متكرر عند قسمتها على 12 هو 4.

لفهم الحل، نستعرض جميع الأعداد من 1 إلى 11 ونقوم بقسمها على 12، ثم نلاحظ الباقي من القسمة. إذا كان الباقي يساوي صفر، فإن الكسر العشري لا يكون متكررًا، وإذا كان الباقي ليس صفرًا، فإن الكسر العشري سيكون متكررًا.

للأعداد من 1 إلى 11:

• 1 ÷ 12 = 0 والباقي 1
• 2 ÷ 12 = 0 والباقي 2
• 3 ÷ 12 = 0 والباقي 3
• 4 ÷ 12 = 0 والباقي 4
• 5 ÷ 12 = 0 والباقي 5
• 6 ÷ 12 = 0 والباقي 6
• 7 ÷ 12 = 0 والباقي 7
• 8 ÷ 12 = 0 والباقي 8
• 9 ÷ 12 = 0 والباقي 9
• 10 ÷ 12 = 0 والباقي 10
• 11 ÷ 12 = 0 والباقي 11

نرى أن الأعداد 1، 5، 7، و11 تؤدي إلى باقي غير صفر عند القسمة على 12. لذلك، هذه الأعداد هي التي تؤدي إلى كسر عشري متكرر عند قسمتها على 12. إذا كانت هذه الأعداد هي الوحيدة التي تحقق الشرط المطلوب، فإن عددها هو 4.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم الباقي عند القسمة. القوانين المستخدمة تعتمد على فهم كيفية تأثير العمليات الحسابية على الباقي عند القسمة.

لفهم الحل بشكل أعمق، دعونا نستعرض العمليات الحسابية للأعداد من 1 إلى 11 ونحسب الباقي عند القسمة على 12:

1. 1 ÷ 12 = 0 والباقي 1
2. 2 ÷ 12 = 0 والباقي 2
3. 3 ÷ 12 = 0 والباقي 3
4. 4 ÷ 12 = 0 والباقي 4
5. 5 ÷ 12 = 0 والباقي 5
6. 6 ÷ 12 = 0 والباقي 6
7. 7 ÷ 12 = 0 والباقي 7
8. 8 ÷ 12 = 0 والباقي 8
9. 9 ÷ 12 = 0 والباقي 9
10. 10 ÷ 12 = 0 والباقي 10
11. 11 ÷ 12 = 0 والباقي 11

نرى أن كل هذه الأعداد تعطي باقيًا غير صفر عند القسمة على 12. القاعدة التي نستخدمها هي أنه إذا كان باقي القسمة على 12 لا يساوي صفرًا، فإن الكسر العشري لهذه العملية سيكون متكررًا.

العمليات الحسابية هنا تستند إلى قاعدة القسمة، حيث يمكننا كتابة أي عدد صحيح بشكل $a = bq + r$، حيث $a$ هو العدد، $b$ هو المقسوم، $q$ هو الناتج الصحيح، و $r$ هو الباقي.

التأكيد على أن الباقي ليس صفرًا هو ما يحدد ما إذا كان الكسر العشري سيكون متكررًا أم لا.

بالتالي، الأعداد 1، 5، 7، و11 تلبي هذا الشرط، وبالتالي تؤدي إلى كسر عشري متكرر عند قسمتها على 12.