أعداد متبقية عند القسمة على 3 (مسألة رياضيات)

عدد الأعداد الصحيحة الإيجابية التي تكون أقل من 70 وتُعطي باقي 1 عند قسمتها على 3؟

للعثور على الحلاً لهذه المسألة، يمكننا استخدام الرياضيات. إذا كانت العدد الصحيح $x$ يعطي باقي 1 عند قسمته على 3، فإننا نستخدم التعبير التالي:

$x \equiv 1 \pmod{3}$

هنا، نحن نستخدم الرمز $\equiv$ للإشارة إلى التكافؤ في النظام الحسابي. الآن، لنجد الأعداد التي تحقق هذا الشرط وتكون أقل من 70، نقوم بتجريب الأعداد الإيجابية حتى نصل إلى أعلى عدد صحيح يحقق الشرط.

لنبدأ بالتجريب، لنرى أول عدد يحقق ذلك:

$1 \equiv 1 \pmod{3}$

نجد أن العدد 1 يحقق الشرط. الآن، لنبحث عن العدد التالي:

$4 \equiv 1 \pmod{3}$

هنا، نجد أن العدد 4 أيضًا يحقق الشرط. نستمر في هذه الطريقة حتى نصل إلى أكبر عدد صحيح أقل من 70 يحقق الشرط. في هذه الحالة، العدد الأخير هو 67:

$67 \equiv 1 \pmod{3}$

إذاً، هناك 23 عددًا صحيحًا إيجابيًا يكون كل واحد منها باقي 1 عندما يتم قسمه على 3 ويكون أقل من 70.

لحل هذه المسألة، نحن نستخدم فهمنا للحسابات المتعلقة بالباقي عند القسمة. لنجد الأعداد الإيجابية التي تعطي باقي 1 عند قسمتها على 3، نستخدم مفهوم التكافؤ في النظام الحسابي، ونعتمد على قوانين القسمة والباقي.

لنعيش هذا الحل بتفاصيله:

1. التعبير الرياضي:
   نبدأ بفهم التعبير الرياضي الذي يمثل الشرط الذي يربط العدد بالباقي عند القسمة على 3:
   $x \equiv 1 \pmod{3}$

2. التجريب:
   نبدأ بتجريب أولى الأعداد الإيجابية:
   $1 \equiv 1 \pmod{3}$
   ونجد أن 1 يحقق الشرط.

3. استمرار التجريب:
   نستمر في تجريب الأعداد الأكبر، مستخدمين الفهم الذي حصلنا عليه من التعبير الرياضي. نعثر على الأعداد 4، 7، 10، وهكذا.
   $4 \equiv 1 \pmod{3}$
   $7 \equiv 1 \pmod{3}$
   وهكذا نستمر.

4. العدد الأخير:
   نستمر في هذا العمل حتى نجد العدد الأخير الذي يحقق الشرط ويكون أقل من 70:
   $67 \equiv 1 \pmod{3}$

5. الحل النهائي:
   بالتالي، الأعداد الإيجابية التي تحقق الشرط هي تلك التي تكون على شكل $3k + 1$، حيث $k$ هو عدد صحيح.
   الأعداد هي: 1، 4، 7، 10، …، 67.

6. القوانين المستخدمة:

   • تكافؤ الباقي (Congruence): استخدمنا التكافؤ للتعبير عن الشرط الرياضي.
   • قانون القسمة: حيث إذا كان عدد مقسومًا على 3 يعطي باقي 1، فإنه يمكن تمثيله بشكل $3k + 1$.

باستخدام هذه القوانين والتفكير الرياضي، تمكنا من الوصول إلى الحل بشكل دقيق للمسألة.