أعداد بعكس موديولو 9 (مسألة رياضيات)

كم عدد الأعداد الصحيحة بين 0 و 8 شاملة للصفر التي لها عكس (معكوس) موديولو 9؟

لحل هذه المسألة، يمكننا تحديد الأعداد التي لها عكس موديولو 9 عن طريق اختبار كل عدد من 0 إلى 8 والتحقق مما إذا كان له عكس موديولو 9 أم لا.

العدد $x$ له عكس موديولو 9 إذا كان العدد $x$ و 9 متفاضلين اثنين في حاصل ضربهما يساوي 1 عند قسمتهما على 9. يعبر عن هذا بشكل رياضي كالتالي:

$x \cdot y \equiv 1 \pmod{9}$

حيث أن $x$ هو العدد الذي نحاول معرفة إذا كان له عكس، و $y$ هو العكس الذي نبحث عنه.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى تحديد الأعداد بين 0 و 8 التي تفي بالشرط أعلاه. لنقم بذلك بالتحقق مباشرة:

1. للعدد 1:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $1 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، نجد أن $y = 1$، لذا العدد 1 له عكس موديولو 9.

2. للعدد 2:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $2 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أنه لا يوجد عكس للعدد 2 موديولو 9.

3. للعدد 3:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $3 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أن $y = 6$، لذا العدد 3 له عكس موديولو 9.

4. للعدد 4:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $4 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أنه لا يوجد عكس للعدد 4 موديولو 9.

5. للعدد 5:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $5 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أنه لا يوجد عكس للعدد 5 موديولو 9.

6. للعدد 6:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $6 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أن $y = 6$، لذا العدد 6 له عكس موديولو 9.

7. للعدد 7:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $7 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أن $y = 4$، لذا العدد 7 له عكس موديولو 9.

8. للعدد 8:
   نبحث عن $y$ الذي يجعل $8 \times y \equiv 1 \pmod{9}$، ونجد أنه لا يوجد عكس للعدد 8 موديولو 9.

إذاً، الأعداد التي لها عكس موديولو 9 هي: 1، 3، 6، و 7. وعددها هو 4.

لحل المسألة وتحديد الأعداد التي لها عكس موديولو 9 بين الأعداد من 0 إلى 8، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم في الحساب الموديولي والتربيعات المتبقية.

1. الحساب الموديولي: في الحساب الموديولي، نقوم بالعمليات الحسابية وكأن الأعداد تتكرر بشكل دوري بعد فترة معينة. على سبيل المثال، في الحساب الموديولي للعدد 9، يتم تجاهل كل الأعداد بعد 9.

2. العكس الموديولي: العدد $y$ هو عكس العدد $x$ موديولو $n$ إذا كانت العملية التالية صحيحة:
   $x \times y \equiv 1 \pmod{n}$
   بمعنى آخر، إذا كان بإمكاننا ضرب $x$ بعدد $y$ ليساوي 1 عند القسمة على $n$، فإن $y$ هو العكس الموديولي لـ $x$ موديولو $n$.

الآن، لحل المسألة:

نقوم بفحص كل عدد من 0 إلى 8 للعثور على الأعداد التي لها عكس موديولو 9. نستخدم القانون المذكور أعلاه ونجرب كل عدد مع الأعداد الأخرى حتى نجد العكس المناسب.

للعدد 1:
$1 \times 1 \equiv 1 \pmod{9}$
نجد أن $1$ له عكس موديولو $9$.

للعدد 2:
$2 \times y \equiv 1 \pmod{9}$
لا يوجد عدد صحيح $y$ يجعل العملية صحيحة، لذا لا يوجد عكس للعدد 2 موديولو 9.

وهكذا نكمل التحقق لبقية الأعداد.

للعدد 3:
$3 \times 6 \equiv 1 \pmod{9}$
ونجد أن $3$ له عكس موديولو $9$.

للعدد 4:
لا يوجد عكس موديولو $9$ للعدد 4.

للعدد 5:
لا يوجد عكس موديولو $9$ للعدد 5.

للعدد 6:
نجد أن $6$ له عكس موديولو $9$ نفسه.

للعدد 7:
$7 \times 4 \equiv 1 \pmod{9}$
ونجد أن $7$ له عكس موديولو $9$.

للعدد 8:
لا يوجد عكس موديولو $9$ للعدد 8.

بالتالي، الأعداد التي لها عكس موديولو 9 هي: 1، 3، 6، و 7، وعددها الإجمالي هو 4.