أصغر مجموع لأرقام في نظم مختلفة (مسألة رياضيات)

إذا كان يمكن تعبير $AAA_4$ على شكل $33_b$، حيث $A$ هو خانة رقمية في النظام الرباعي و $b$ هو القاعدة التي تزيد عن $X$، فما هو أصغر مجموع ممكن لـ $A+b$؟ إذا كانت الإجابة على السؤال السابق هي 7، فما قيمة المتغير المجهول $X$؟

لنقوم بإعادة صياغة المسألة بشكل مترجم:

إذا كان بإمكاننا تمثيل $AAA_4$ بواسطة $33_b$، حيث $A$ يمثل خانة رقمية في النظام الرباعي و $b$ هو قاعدة أعددية تتجاوز قيمة $X$، ما هو أصغر مجموع ممكن لـ $A+b$؟ وإذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 7، فما قيمة المتغير المجهول $X$؟

الآن، دعونا نبدأ في حل المسألة:

نحن نعرف أن $AAA_4$ يمثل عددًا في النظام الرباعي، والذي يتمثل في القيم التالية:
$AAA_4 = 4^2 \times A + 4^1 \times A + 4^0 \times A$
$AAA_4 = 16A + 4A + A = 21A$

ونعرف أن $33_b$ يمثل عددًا في نظام العد الذي يستخدم القاعدة $b$، والذي يتمثل في القيم التالية:
$33_b = 3 \times b^1 + 3 \times b^0$
$33_b = 3b + 3$

الآن نريد أن نجد أصغر مجموع ممكن لـ $A+b$، لذا نحتاج إلى أصغر قيمة ممكنة لـ $A$ و $b$.

قيمة $A$ يجب أن تكون الأصغر قدر الإمكان، وهي 0 في هذه الحالة، لأننا نستخدم النظام الرباعي. وبما أنه يجب أن يكون $A$ عددًا في النظام الرباعي، فإن القيمة الوحيدة المسموح بها هي 0.

وبما أن أصغر قيمة ممكنة لـ $A$ هي 0، فإن:
$21A = 21 \times 0 = 0$

وبالتالي، $AAA_4 = 0$.

الآن نريد أن نجد أصغر قيمة ممكنة لـ $b$، والتي تتجاوز القيمة المجهولة $X$.

نحن نعرف أن $33_b = 3b + 3$، وأن هذا العدد يمثل القيمة $0$ في النظام الرباعي، وهو $AAA_4$.

بما أن $AAA_4 = 0$، فإن:
$3b + 3 = 0$
$3b = -3$
$b = -1$

ولكن القيمة العددية لا يمكن أن تكون سالبة، لذا نقبل فقط القيم الموجبة.

وبالتالي، القيمة الأصغر لـ $b$ هي 2.

المطلوب منا أن نجمع أصغر قيمة ممكنة لـ $A$ مع أصغر قيمة ممكنة لـ $b$، لذا:
$A + b = 0 + 2 = 2$

إذاً، القيمة المطلوبة لمتغير $X$ هي 2.

لحل المسألة بشكل مفصل وتوضيح القوانين المستخدمة، دعونا نبدأ بالتحليل:

1. النظام الرباعي (Base 4):
   في النظام الرباعي، نستخدم الأرقام من 0 إلى 3 لتمثيل القيم، حيث كل خانة تزيد بمقدار 4. فعلى سبيل المثال:

   • $4^2 = 16$
   • $4^1 = 4$
   • $4^0 = 1$

2. النظام الترقيمي (Base $b$):
   في النظام الترقيمي، يستخدم الأرقام من 0 إلى $(b-1)$ لتمثيل القيم، حيث تتزايد القيم بمقدار $b$ لكل خانة. على سبيل المثال:

   • $b^1$
   • $b^0$

بناءً على المعلومات المعطاة في المسألة، نحن نبحث عن أصغر مجموع ممكن لـ $A + b$ حيث:

• $A$ هو الرقم في النظام الرباعي (base 4) ومحدود بالأرقام من 0 إلى 3.
• $b$ هو القاعدة في النظام الترقيمي ومحدود بالأعداد الطبيعية التي تتجاوز قيمة $X$.

الآن، دعونا نرتب ونحل المعادلة:

1. $AAA_4 = 21A$
2. $33_b = 3b + 3$

نريد أن يكون $AAA_4 = 33_b$، أي:
$21A = 3b + 3$

القانون المستخدم هو تساوي القيم، حيث يجب أن يكون العدد في النظام الرباعي مساويًا للعدد في النظام الترقيمي.

مع العلم أن أصغر قيمة ممكنة لـ $A$ هي 0، فإننا نضع $A = 0$:
$21 \times 0 = 3b + 3$
$0 = 3b + 3$
$3b = -3$

لكن القيمة لا يمكن أن تكون سالبة، لذا نقبل قيم موجبة فقط.

نحن نعرف أن أصغر قيمة ممكنة لـ $b$ هي 2، لأننا نريد أن يتجاوز قيمة $b$ القيمة المجهولة $X$.

الآن، نحسب القيمة المطلوبة:
$A + b = 0 + 2 = 2$

بالتالي، القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي 2.

للتأكيد، قد تبدو المسألة معقدة لكن في الأساس، تعتمد على فهم أن الأرقام تمثل القيم في نظم مختلفة وعلى تطابق القيم بينهما.