مسائل رياضيات

أصغر قيمة للتكرار في السحب (مسألة رياضيات)

تحتوي صندوقٌ على 9 تفاحات، منها 8 تفاحات حمراء. يتم سحب تفاحة من الصندوق وتسجيل لونها قبل أن يتم تناولها. يتم هذا العمل إجمالًا n مرات، واحتمال أن يتم سحب تفاحة حمراء في كل مرة هو أقل من 0.5. ما هو أصغر قيمة ممكنة لـ n؟

الحل:
لنحسب الاحتمال المعاكس، أي احتمال أن يتم سحب تفاحة غير حمراء في كل مرة. العدد الإجمالي للتفاح غير الحمراء هو 9 – 8 = 1. إذاً، الاحتمال أن يتم سحب تفاحة غير حمراء في مرة واحدة هو 1/9.

إذا كانت هذه العملية تتم n مرة، فإن الاحتمال الكلي لسحب تفاحة غير حمراء في كل المرات هو (1/9)^n.

وفقًا للشرط المعطى في المسألة، يجب أن يكون هذا الاحتمال أقل من 0.5:

(1/9)^n < 0.5

لحل هذه المعادلة، يمكننا أخذ اللوغاريتم الطبيعي من الجهتين:

n * ln(1/9) < ln(0.5)

الآن نقوم بحساب قيمة n:

n > ln(0.5) / ln(1/9)

تقريبًا، يكون n > 2.88.

لكن نحن بحاجة إلى قيمة صحيحة لـ n، لذا يجب أن نزيد أدناها للوصول إلى أصغر قيمة ممكنة. لذلك، أقل قيمة صحيحة لـ n هي 3.

المزيد من المعلومات

حل المسألة:

نريد حساب أصغر قيمة ممكنة لـ n بحيث يكون احتمال سحب تفاحة غير حمراء في كل مرة أقل من 0.5.

للقيام بذلك، نستخدم الاحتمال المعاكس. إذا كان احتمال سحب تفاحة حمراء في كل مرة هو p، فإن احتمال سحب تفاحة غير حمراء في كل مرة هو 1 – p.

في هذه المسألة، لدينا 8 تفاحات حمراء من إجمالي 9 تفاحات، لذا احتمال سحب تفاحة حمراء في مرة واحدة هو 8/9.

الاحتمال المعاكس، أي احتمال سحب تفاحة غير حمراء في مرة واحدة، هو 1 – 8/9 = 1/9.

الآن نقوم بتعبير هذا الاحتمال على مرات متعددة، حيث n هو عدد المرات التي نقوم فيها بسحب تفاحة. لذا، الاحتمال الكلي لسحب تفاحة غير حمراء في جميع المرات هو (1/9)^n.

وفقًا للشرط في المسألة، يجب أن يكون هذا الاحتمال أقل من 0.5:

(1/9)^n < 0.5

نتخذ لوغاريتم الطبيعي من الطرفين للتخلص من الأساس 1/9:

n * ln(1/9) < ln(0.5)

التي تؤدي إلى:

n > ln(0.5) / ln(1/9)

بحساب القيمة:

n > 2.88

لكن نحن بحاجة إلى قيمة صحيحة لـ n، لذا نزيد أدناها للحصول على أصغر قيمة ممكنة. لذا، أقل قيمة صحيحة لـ n هي 3.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون الاحتمال المعاكس: احتمال حدوث حدث معاكس يُحسب بطرح احتمال حدوث الحدث نفسه من 1.
  2. قوانين اللوغاريتم: تم استخدام اللوغاريتم لتحويل المعادلة ذات الأساس 1/9 إلى معادلة يمكن حسابها بسهولة.
  3. التقريب: في النهاية، تم استخدام التقريب للوصول إلى أصغر قيمة صحيحة لـ n.