أصغر قيمة لتعبير رياضي. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هو أصغر قيمة ممكنة للتعبير $2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$؟

لحل هذه المسألة، يجب علينا أولاً أن نفكر في كيفية تحديد أقل قيمة ممكنة لهذا التعبير. لنبدأ بذلك بخطوات الحل:

1. نقوم بتطبيق تقنية الفحص بالتفاضل للتعبير المعطى.
2. نقوم بحساب تفضيلية التعبير بالتفاضل مع القيم التي ترضي الشرط $x > 0$.
3. نجد نقطة التقاطع مع المحور السيني.
4. نقارن القيم لنحدد الأصغر بينها.

لنقم بحل المسألة:

لنبدأ بتفضيلية التعبير $2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ بالتفاضل. نأخذ التفاضل مع النظر في القيم الإيجابية للمتغير $x$:

استخدم قاعدة القوى وقاعدة التفاضل للأسس للحصول على التفضيلية:

لتحديد النقطة الحرجة، نجعل التفضيلية تساوي صفرًا:

بعد حل المعادلة، نحصل على $x = 1$. هذا يعني أن النقطة $(1, 3)$ هي نقطة حرجة.

الآن، لنقارن القيم عند $x = 1$ وعند الحد الأدنى المسموح به لـ $x$ وهو $0$:

عند $x = 1$:
$2\sqrt{1} + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3$

عند $x = 0$:
$2\sqrt{0} + \frac{1}{0}$

يجب أن نلاحظ أنه لا يمكننا تعريف $\frac{1}{0}$ بشكل صحيح، وهذا يدل على أن الحدود تتجه نحو اللانهاية.

لذلك، أصغر قيمة ممكنة للتعبير $2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$ هي $3$.

وهذا يكون الحل المطلوب للمسألة.

لحل المسألة وتحديد أصغر قيمة ممكنة للتعبير $2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$، نحتاج إلى استخدام قوانين الجبر وتقنيات الحساب التفاضلي.

1. قوانين الجبر:

   • قوانين الأسس: مثل قاعدة أساسية تقول أن $x^m \times x^n = x^{m+n}$.
   • تعريف الجذور: $\sqrt{x}$ هو العدد الذي إذا تم رفعه إلى السلطة الثانية يعطي $x$.
   • قوانين الكسور: مثل قاعدة جمع وطرح الكسور.

2. تقنيات الحساب التفاضلي:

   • قاعدة التفاضل لأسس: يمكننا استخدام قواعد التفاضل لأسس للتعبيرات التي تحتوي على أسس.
   • نقاط التقاطع مع المحور: يمكن استخدام التفاضل لتحديد النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى مع المحور.

الآن، لنقم بتفصيل الحل:

1. تطبيق تقنية الفحص بالتفاضل:
   نقوم بتفضيلية التعبير $2\sqrt{x} + \frac{1}{x}$ بالتفاضل مع النظر في القيم الإيجابية للمتغير $x$.

2. حساب التفضيلية:
   نقوم بتفضيلية التعبير باستخدام قواعد الجبر وقوانين الدوال. هذا يعطينا تعبيرًا لتفضيلية التعبير الأصلي.

3. حل المعادلة التفاضلية:
   نقوم بحل المعادلة التفاضلية للتعبير للحصول على نقطة التقاطع مع المحور.

4. تحديد القيم:
   نقارن القيم لنحدد أصغر قيمة ممكنة للتعبير.

5. التحقق من الشرط:
   نتأكد من أن القيم المحسوبة تتوافق مع الشرط المفروض في المسألة، وهو أن $x > 0$.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة، نستطيع حل المسألة وتحديد الأصغر قيمة ممكنة للتعبير المعطى.