أصغر قيمة لتعبير رياضي. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: ما هي القيمة الأصغر الممكنة للتعبير $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}}$ لجميع الأعداد الحقيقية $x$؟

لحل هذه المسألة، سنقوم بعدة خطوات:

أولاً، لنلاحظ أن العبارة $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}}$ تحتوي على ترميز بجذر، ونحن نريد أن نجعل هذا الترميز في المقام الثاني لأننا نبحث عن أصغر قيمة ممكنة. لذلك، سنقوم بتحويل $\sqrt{x^2 + 3}$ إلى $(x^2 + 3)^{1/2}$.

بعد ذلك، سنحاول تحويل التعبير إلى شكل يحتوي على جذور حتى نستطيع تطبيق القواعد الجبرية عليه.

نضرب ونقسم بالجذر المربع لـ$x^2 + 3$، الذي هو نفسه للعداد والمقام.

نقوم بضرب وتقسيم تعبيرنا بالجذر، وهذا يتبع الفكرة الشائعة للتخلص من الجذور في المقام.

بعد التعديل، يصبح التعبير:

$\frac{x^2 + 7}{(x^2 + 3)^{1/2}} = \frac{(x^2 + 7)(x^2 + 3)^{1/2}}{x^2 + 3}$

الآن، نحاول تبسيط التعبير بوسائل الجبر.

نقوم بضرب الجزء العلوي والسفلي بالجذر، ثم نفك تبسيط المقام باستخدام قواعد الجذور.

سنقوم بفتح $(x^2 + 3)$ في المقام لنتمكن من إلغاء الجذر.

بعد ذلك، نستخدم تعويض $u = x^2 + 3$ لنبسط المقام، ونجد أن العبارة المعاد ترتيبها هي:

$\frac{(x^2 + 7)\sqrt{x^2 + 3}}{x^2 + 3} = \frac{(u – 3 + 7)\sqrt{u}}{u} = \frac{(u + 4)\sqrt{u}}{u}$

الآن، نقوم بتبسيط التعبير أكثر:

$\frac{(u + 4)\sqrt{u}}{u} = \sqrt{u} + \frac{4\sqrt{u}}{u}$

نحن الآن بحاجة إلى إيجاد القيمة الأصغر لهذا التعبير. يتضح أن الجزء الأول $\sqrt{u}$ سيكون أصغر قيمة عندما $u$ تكون أصغر قيمة.

في الحقيقة، $\sqrt{u}$ سيكون موجباً لأن $\sqrt{u}$ هو جذر مربعي ولا يمكن أن يكون سالباً.

لذا، سيكون الجزء الثاني $\frac{4\sqrt{u}}{u}$ الذي يساوي $4/u$ هو المتغير الوحيد. وهذا الجزء سيقل عندما $u$ يزيد.

وهنا نلاحظ أن $u = x^2 + 3$، وهذا يعني أن $u$ سيكون أصغر قيمة عندما $x^2$ يكون أصغر قيمة، وهذا يحدث عندما $x = 0$.

لذا، نستنتج أن أصغر قيمة ممكنة للتعبير $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}}$ هي عندما $x = 0$.

عندما نستبدل $x$ بـ $0$، يصبح التعبير:

$\frac{0^2 + 7}{\sqrt{0^2 + 3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

إذاً، أصغر قيمة ممكنة هي $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.

لحل مسألة العثور على أصغر قيمة ممكنة للتعبير $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}}$ لجميع الأعداد الحقيقية $x$، سنستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الجبرية والتحليلية. هذه القوانين تشمل:

1. قانون التعويض: يمكن استخدام التعويض لتبسيط التعابير وتقليل التعقيد.

2. قواعد الجذور: سنستخدم قواعد الجذور لتبسيط وتحليل التعابير التي تحتوي على جذور.

3. البحث عن الأقل: نحاول دائماً العثور على أصغر قيمة ممكنة للتعبير المعطى.

الآن، دعنا نستعرض الخطوات التفصيلية لحل هذه المسألة:

1. تحليل التعبير الأصلي:
   نحلل التعبير $\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}}$ إلى مكوناته الرئيسية.

2. تطبيق قواعد الجذور:
   نقوم بتحويل الجذر $\sqrt{x^2 + 3}$ إلى $(x^2 + 3)^{1/2}$ لتسهيل عملية التحليل.

3. تبسيط التعبير:
   نقوم بتبسيط التعبير للحصول على شكل أبسط وأكثر فهماً. هذا يشمل الضرب والقسمة بالجذور والتعويض.

4. تطبيق القوانين الجبرية:
   نستخدم القوانين الجبرية لتبسيط التعبير وتحليله بشكل أكبر.

5. البحث عن القيمة الأصغر:
   نحاول العثور على أصغر قيمة ممكنة للتعبير باستخدام القوانين الجبرية والتحليل الرياضي.

6. التحقق من الحل:
   نتحقق من الحل للتأكد من صحته وملاءمته للمسألة.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حل مسألة العثور على أصغر قيمة ممكنة للتعبير المعطى. يجب ملاحظة أن هذه العملية تتطلب دقة وتركيزًا لضمان الحصول على الحل الصحيح.