أصغر عدد حقيقي لنطاق f ( f ( x ) ) f(f(x)) f ( f ( x )) (مسألة رياضيات)

إذا كانت $f(x) = \sqrt{x-3}$، فما هو أصغر عدد حقيقي $x$ الذي ينتمي إلى نطاق $f(f(x))$؟

الدالة $f(x) = \sqrt{x-3}$ ستكون معرَّفة فقط إذا كان $x-3 \geq 0$، أي $x \geq 3$، لأن الجذر التربيعي يحتاج إلى قيمة غير سالبة تحته.

الآن، لنحسب $f(f(x))$، نضع قيمة $f(x)$ في دالة $f(x)$، فإذا كانت $f(x) = \sqrt{x-3}$، فسيكون $f(f(x)) = f(\sqrt{x-3})$.

وضع قيمة $f(x)$ في $f(x)$ يُعطينا:

$f(f(x)) = f(\sqrt{x-3}) = \sqrt{\sqrt{x-3}-3}$

الآن نحتاج إلى التحقق من النطاق الصالح لهذه الدالة. لاحظ أن $\sqrt{x-3} \geq 0$ بالفعل (لأن $x \geq 3$)، وبالتالي $\sqrt{x-3}-3 \geq -3$، والجذر التربيعي يتطلب قيمة غير سالبة، لذلك نحتاج إلى:

$\sqrt{x-3}-3 \geq 0$

أي:

$\sqrt{x-3} \geq 3$

لنربع الطرفين:

$x-3 \geq 9$

وبالتالي:

$x \geq 12$

لكننا بحاجة إلى أصغر قيمة لـ $x$ التي تنطبق على كل من $x \geq 3$ و $x \geq 12$، وهذا يكون عندما $x \geq 12$، لأنه يشمل كل من $x \geq 3$ و $x \geq 12$.

لذلك، أصغر عدد حقيقي $x$ الذي ينتمي إلى نطاق $f(f(x))$ هو $x = 12$.

لحل المسألة وتحديد أصغر عدد حقيقي $x$ الذي ينتمي إلى نطاق $f(f(x))$، سنستخدم القوانين التالية:

1. تعريف الدالة $f(x)$: الدالة $f(x) = \sqrt{x-3}$ تكون معرَّفة فقط عندما يكون الجزء الذي تحت الجذر ($x-3$) غير سالب. لذا، يجب أن يكون $x-3 \geq 0$، مما يؤدي إلى $x \geq 3$.

2. حساب $f(f(x))$: لحساب $f(f(x))$، نقوم بوضع قيمة $f(x)$ داخل الدالة $f(x)$، مما يعني $f(f(x)) = f(\sqrt{x-3})$.

3. النطاق الصالح لـ $f(f(x))$: يجب أن يكون الجذر التربيعي ($\sqrt{x-3}$) والقيمة التي تنتج عنها ($\sqrt{x-3} – 3$) غير سالبين، لأن الجذر التربيعي يتطلب قيمة غير سالبة.

4. حساب النطاق الصالح لـ $f(f(x))$: نقوم بتحديد الشروط التي يجب أن تتوافر للحصول على قيمة صالحة للجذر التربيعي. نجد $\sqrt{x-3} \geq 3$ بناءً على قاعدة الجذور التربيعية.

5. حل المعادلة:
   $\sqrt{x-3} \geq 3$
   نربع الطرفين للحصول على:
   $x-3 \geq 9$
   وبالتالي:
   $x \geq 12$

بعد مراعاة هذه القوانين والخطوات، نجد أن أصغر عدد حقيقي $x$ الذي ينتمي إلى نطاق $f(f(x))$ هو $x = 12$، حيث يستوفي كل من شروط $x \geq 3$ و $x \geq 12$.