أصغر عدد بـ 14 عاملًا: الحل (مسألة رياضيات)

المطلوب هو تحديد أصغر عدد صحيح إيجابي يمتلك بالضبط 14 عاملًا موجبًا.
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم كيفية حساب عدد العوامل لعدد معين وكيفية اختيار العدد الأصغر الذي يمتلك 14 عاملًا.

نبدأ بفهم كيفية حساب عدد العوامل لعدد ما. لنفترض أن لدينا عددًا صحيحًا موجبًا يُعبَّر عنه بالشكل $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$ حيث $p_1, p_2, \ldots, p_k$ هي الأعداد الأولية و$a_1, a_2, \ldots, a_k$ هي الأسس. عدد العوامل للعدد $N$ يمكن حسابه بمعادلة تعبر عن ذلك كما يلي:

$\text{عدد العوامل} = (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \ldots \times (a_k + 1)$

حيث نضيف واحدًا إلى كل عامل لأننا نحتسب أيضًا العامل الأصلي نفسه.

الآن، نحتاج إلى إيجاد أصغر عدد ممكن يمتلك 14 عاملًا. يجب أن يكون هذا العدد عبارة عن المنتج $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$ حيث تكون قيم $a_1, a_2, \ldots, a_k$ قد تم اختيارها بحيث يكون عدد العوامل هو 14 ويكون $N$ أصغر عدد ممكن.

لتحقيق هذا، نبدأ بتحليل الأعداد الأولية ونجمع الأسس بطريقة تضمن لنا الحصول على 14 عاملًا. أفضل طريقة للقيام بذلك هي تجميع الأسس بحيث يكون لدينا قوى أولى صغيرة. عادةً ما نفضل أن تكون الأعداد الأولية صغيرة، لأن تكون الأعداد الكبيرة قد تؤدي إلى أرقام كبيرة للعوامل.

من خلال التجريب، نجد أن أساسين فقط ينتجان 14 عاملًا عندما يكون الأس الأول يساوي 2 والأس الثاني يساوي 6.

ذلك يعني أن أصغر عدد يحتوي على 14 عاملًا هو:

$N = 2^1 \times 3^6 = 2 \times 3^6 = 2 \times 729 = 1458$

إذاً، العدد الصحيح الأصغر الذي يمتلك بالضبط 14 عاملًا هو 1458.

لحل مسألة تحديد أصغر عدد صحيح إيجابي يمتلك بالضبط 14 عاملًا، نحتاج إلى فهم عدد العوامل للأعداد وكيفية تحديد العدد الأصغر الذي يلبي هذا الشرط. نستخدم في الحل قوانين عامة لعدد العوامل وتجزئة الأعداد إلى عواملها الأولية.

أولًا، نحن نستخدم قانونًا أساسيًا يقول إن عدد العوامل لأي عدد صحيح موجب معين يمكن حسابه من خلال مضاعفة عدد الأسس لكل عامل بالإضافة إلى واحد.

ثانيًا، نحن نعرف أنه عندما نقوم بتفكيك عدد إلى عوامله الأولية، نحاول تحديد التركيب الأمثل للأسس للحصول على أصغر عدد ممكن يحتوي على عدد معين من العوامل.

بالنسبة لحل المسألة بشكل أكثر تفصيلًا، نتبع الخطوات التالية:

1. نبدأ بتحليل عدد العوامل للأعداد الأولية. نعرف أن العدد الأصغر من العوامل يتواجد عند الرقم 2.

2. نستخدم الأس 2 لأنه يسمح لنا بالحصول على مجموعة أوسع من العوامل. يعني ذلك أننا نبدأ بأس أصغر لأنه يعطينا مساحة أكبر للعوامل الإضافية.

3. نحاول تحديد الأسس بحيث يكون لدينا 14 عاملًا. يمكننا أن نجد أن 2 × 7 = 14.

4. نختار قوة الأس الثانية (العدد 7) لتكون مرتفعة بحيث يمكننا الحصول على 6 عوامل إضافية (7 – 1 = 6).

5. بما أننا نريد العدد الأصغر، نختار أسًا صغيرًا للأعداد الأولية. لذلك نستخدم 2 كأصغر أس.

6. نحسب الناتج باستخدام الأسس التي اخترناها: $N = 2^1 \times 7^6$.

7. نضرب الأس 2 في الأس 7 مرفوعة للقوة 6 للحصول على الناتج.

8. نقوم بالحساب: $N = 2 \times 117649 = 235298$.

بهذه الطريقة، نحصل على أصغر عدد يحتوي على بالضبط 14 عاملًا، وهو 235298.