أدنى قيمة لضمان مضاعف 8 (مسألة رياضيات)

عندما يكون $n$ عددًا صحيحًا إيجابيًا ويكون حاصل ضرب جميع الأعداد من 1 إلى $n$ مضاعفًا للعدد 8، ما هو أقل قيمة ممكنة لـ $n$؟

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فحص العلاقة بين حاصل الضرب والعدد 8. نعلم أن العدد 8 يمكن تمثيله كمضاعف للأعداد 2 ( $8 = 2 \times 2 \times 2$ ). لذلك، نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الأعداد 2 تظهر بشكل كافٍ في تكوين الأعداد من 1 إلى $n$.

للتحقق من ذلك، يمكننا تحليل الأعداد الزوجية والفردية في النطاق من 1 إلى $n$، حيث إنه في حال كان هناك عدد كافٍ من الأعداد الزوجية (التي تحتوي على العامل 2)، سيتأكد وجود العامل 8 في الناتج.

إذاً، نحتاج إلى التأكد من أن العدد $n$ يحتوي على ما لا يقل عن ثلاثة أعداد زوجية (لضمان وجود ثلاثة عوامل 2)، وذلك للتأكيد على أن حاصل الضرب هو مضاعف للعدد 8.

للحصول على أقل قيمة ممكنة لـ $n$، نأخذ أقل عدد زوجي كبير أو يساوي 2، وهو 2 نفسه. لذلك، أقل قيمة ممكنة لـ $n$ هي 2.

بالتالي، إذا كان $n$ هو عدد صحيح إيجابي وحاصل الضرب من 1 إلى $n$ هو مضاعف للعدد 8، فإن أقل قيمة ممكنة لـ $n$ هي 2.

لحل هذه المسألة، نحن بحاجة إلى فحص كيف يؤثر تواجد العدد 2 في العدد $n$ على حاصل الضرب. لنقم بتحليل تأثير الأعداد الزوجية والفردية على حاصل الضرب من 1 إلى $n$.

لنركز على العدد 2، الذي يحتوي على عاملين 2 ويمثل العدد 8. الهدف هو التأكد من وجود ثلاثة أعداد زوجية على الأقل في النطاق من 1 إلى $n$ لضمان وجود ثلاثة عوامل 2 وبالتالي ضمان أن حاصل الضرب هو مضاعف للعدد 8.

نستنتج قاعدة: إذا كان $n$ عددًا فرديًا، فإن العدد 2 سيظهر في تكوين الأعداد من 1 إلى $n$ بشكل فردي، وبالتالي لن يكون لدينا ثلاثة عوامل 2. وعلى الجانب الآخر، إذا كان $n$ عددًا زوجيًا، فإن العدد 2 سيظهر في تكوين الأعداد بشكل زوجي، وبالتالي سيكون لدينا ثلاثة عوامل 2.

بما أننا نسعى للحصول على أقل قيمة ممكنة لـ $n$، فإننا نختار $n$ عددًا زوجيًا. وبما أن أقل عدد زوجي هو 2، فإن أقل قيمة ممكنة لـ $n$ هي 2.

لذلك، قمنا باستخدام قاعدة عددية بسيطة لفحص وجود العدد 2 بشكل زوجي في تكوين الأعداد من 1 إلى $n$، واستنتجنا أن أقل قيمة ممكنة لـ $n$ هي 2، وهو العدد الزوجي الأدنى الذي يحقق شرط حاصل الضرب كمضاعف للعدد 8.