أدنى قيمة لضرب 440

إذا كان $n$ عدد صحيح إيجابي وكانت حاصل ضرب جميع الأعداد من 1 إلى $n$ (بما في ذلك $n$) عددًا مضاعفًا للعدد 440، فما هو أقل قيمة ممكنة لـ $n$؟

للعثور على القيمة الأدنى الممكنة لـ $n$ ، نقوم بتحليل العدد 440 إلى عوامله الأولية. يعد العدد 440 متكاملًا من العوامل الأولية التالية: 2 و 5 و 11.

الآن نراعي أن تكون العدوين 2 و 5 مشمولين في حاصل الضرب، لأنهما يظهران مع كل عدد زوج وكل عدد ينتهي بصفر. أما العدد 11 فيمكن أن يظهر مرة واحدة فقط، لأنه أقل عدد فردي يمكن أن يتكون من العوامل الفردية.

بناءً على ذلك، نقوم بتحليل القواسم الأولية للأعداد من 1 إلى 11:
$2, 3, 2^2, 5, 2 \times 3, 7, 2^3, 3^2, 2 \times 5, 11$

نستنتج أنه يجب على $n$ أن يشمل العددين 2 و 5 على الأقل مرة واحدة، وعدد 11 مرة واحدة. لذا، يمكننا اختيار القيمة الأدنى لـ $n$ باستخدام الأعداد السابقة بدون تكرار، وهي:
$n = 2 \times 5 \times 11 = 110$

إذا كان $n$ يساوي 110، فإن حاصل ضرب جميع الأعداد من 1 إلى 110 سيكون مضاعفًا للعدد 440.

لحل هذه المسألة، يمكننا البدء بتحليل العدد 440 إلى عوامله الأولية ومن ثم استخدام قوانين الأعداد الصحيحة والعوامل للعثور على أدنى قيمة ممكنة لـ $n$.

العدد 440 هو المنتج الناتج من ضرب العوامل الأولية 2، 5، و 11:
$440 = 2^3 \times 5 \times 11$

والآن، يمكننا استخدام هذه العوامل الأولية لفحص كيف يمكن أن تتكون القيمة الأدنى لـ $n$.

1. القاعدة الأولى للأعداد الصحيحة:

   • للحصول على أدنى قيمة ممكنة لـ $n$، يجب أن نحتوي على العددين 2 و 5 على الأقل مرة واحدة.

2. القاعدة الثانية للأعداد الصحيحة:

   • يمكن تكوين العدد 11 مرة واحدة فقط، لأنه يعتبر العدد الأدنى للأعداد الفردية.

بناءً على هذه القوانين، يمكننا اختيار العدد 2 مرة واحدة، والعدد 5 مرة واحدة، والعدد 11 مرة واحدة، للحصول على أدنى قيمة ممكنة:
$n = 2 \times 5 \times 11 = 110$

لذلك، يكون أدنى قيمة ممكنة لـ $n$ هي 110.

يمكن تلخيص القوانين المستخدمة كما يلي:

• استخدام قوانين الأعداد الأولية لتحليل العدد المعطى.
• ضمان وجود العددين 2 و 5 على الأقل مرة واحدة.
• ضمان وجود العدد 11 مرة واحدة على الأقل.
• استخدام هذه العوامل الأولية للعثور على أدنى قيمة ممكنة لـ $n$ بحيث يكون حاصل الضرب مضاعفًا للعدد المعطى.