أدنى قيمة لتكرار سحب التفاح (مسألة رياضيات)

صندوق يحتوي على 11 تفاحة، 10 منها حمراء. يتم سحب تفاحة من الصندوق وتسجيل لونها قبل أن يتم تناولها. يتم هذا مجموعة من n مرات، واحتمال أن يكون لون التفاح الأحمر هو الذي يتم سحبه في كل مرة أقل من 0.5. ما هو أقل قيمة ممكنة لـ n؟

لحل هذه المسألة، نستخدم الاحتمال المعاكس. إذا كانت الاحتمالات المطلوبة أقل من 0.5، فإن الاحتمال المعاكس (الاحتمال ألا يتم سحب تفاحة حمراء في كل مرة) يكون أكبر من 0.5.

الاحتمال ألا يتم سحب تفاحة حمراء في المرة الأولى هو عدد التفاح غير الحمراء (وهو 1) مقسومًا على إجمالي عدد التفاح في الصندوق (وهو 11). لذا، الاحتمال في المرة الأولى هو 1/11.

الآن، في المرات التالية، بما أن التفاح الأحمر قد تم سحبه في المرة الأولى وتم تناوله، يصبح إجمالي عدد التفاح 10. وعدد التفاح غير الحمراء يبقى 1. لذا، الاحتمال في المرات التالية هو 1/10.

نضرب هذه الاحتمالات للحصول على الاحتمال الكلي:

$\frac{1}{11} \times \frac{1}{10} \times \ldots \times \frac{1}{10}$

نريد أن يكون هذا الاحتمال أكبر من 0.5. لنحدد القيمة الدقيقة لـ n، نقوم بتجريب القيم:

$\frac{1}{11} \times \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} > 0.5$

بحل هذه المعادلة، نجد أن أقل قيمة ممكنة لـ n هي 27.

إذاً، عند سحب التفاح من الصندوق n مرة، يكون الاحتمال أن يكون لون التفاح الأحمر هو الذي يتم سحبه في كل مرة أقل من 0.5 عندما يكون n هو 27.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة حساب الاحتمالات ونستفيد من الاحتمال المعاكس. القوانين التي سنعتمد عليها في هذا الحل تشمل:

1. قاعدة حساب الاحتمالات:
   إذا كان لدينا حدثان A و B غير متزامنين، فإن احتمال حدوث أي منهما هو مجموع احتمالات كل حدث منفصل:
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

2. استخدام الاحتمال المعاكس:
   إذا كان لدينا حدث A، فإن احتمال عدم حدوثه يساوي 1 ناقص احتمال حدوثه:
   $P(\text{not } A) = 1 – P(A)$

لنحسب الاحتمال الكلي لعدم سحب تفاحة حمراء في أي مرة:

في المرة الأولى: $P(\text{not red}) = \frac{1}{11}$
في المرات التالية: $P(\text{not red}) = \frac{1}{10}$ (بما أن العدد الكلي للتفاح يصبح 10 بعد السحب الأول)

لحساب الاحتمال الكلي، نقوم بضرب هذه الاحتمالات معًا:
$P(\text{not red in any draw}) = \frac{1}{11} \times \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}$

ونريد أن يكون هذا الاحتمال أكبر من 0.5:
$\frac{1}{11} \times \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1} > 0.5$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام اللوغاريتمات والجبر البسيط للحصول على القيمة الصحيحة لـ n:

$\log_{10}\left(\frac{1}{11}\right) + (n-1) \cdot \log_{10}\left(\frac{1}{10}\right) > \log_{10}(0.5)$

بحساب هذه المعادلة، نحصل على $n > 26.44$، وبما أن n يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فإن أقل قيمة ممكنة لـ n هي 27.

لذا، يجب أن يتم سحب التفاح من الصندوق 27 مرة على الأقل لضمان أن احتمال سحب تفاحة حمراء في كل مرة أقل من 0.5.