نمط رمي الكرة: حلاقة هندسية في الدوران (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي كالتالي:

في دائرة، هناك أحد عشر فتاة. يتم رمي الكرة باتجاه عقارب الساعة حول الدائرة، بدءًا من الفتاة الأولى، أمي. أمي تتخطى الفتيات الثلاث التالية وترمي الكرة إلى الفتاة الخامسة، التي بدورها تتخطى الفتيات الثلاث التالية وترمي الكرة إلى الفتاة التاسعة. تستمر هذه النمط في الرمي، بما في ذلك رمي أمي الأولي. كم عدد الرميات الإجمالية المطلوبة لعودة الكرة إلى أمي؟

الحل:

لفهم عدد الرميات، نستخدم التسلسل الهندسي للموقف. إذا كان لدينا 11 فتاة، فإن الفتاة رقم 5 (إذا كنا نبدأ من أمي) سترمي الكرة كل 11 فتاة. وبما أن عدد الفتيات هو 11، يتم العودة إلى الفتاة الأولى بعد مرور 11 رمية.

إذاً، يتم تكرار هذا النمط في الرمي كل 11 رمية. لكن لدينا أيضاً رمي البداية من قبل أمي، لذلك يجب أن نضيف رمية واحدة إلى العدد الإجمالي.

إذاً، عدد الرميات الإجمالية هو 11 + 1 = 12 رمية.

بالتالي، يلزم 12 رمية للكرة لتعود إلى أمي.

تفاصيل الحل:

نقوم بفهم نمط رمي الكرة وكيف يتكرر حول الدائرة. بدأنا بأمي واتبعنا تسلسل الرمي باتجاه عقارب الساعة. أمي تخطي 3 فتيات وترمي الكرة للفتاة الخامسة، ثم الفتاة الخامسة تخطي 3 فتيات وترمي الكرة للفتاة التاسعة، وهكذا.

لفهم عدد الرميات، استخدمنا التسلسل الهندسي. إذا كان لدينا n عناصر في التسلسل، يمكننا حساب الجملة الجزئية بمعادلة:

$S_n = a \left(\frac{r^n – 1}{r – 1}\right)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع العناصر الأول n.
• $a$ هو العنصر الأول في التسلسل.
• $r$ هو نسبة التكرار بين العناصر المتتالية.

في هذه المسألة:

• عدد الفتيات n هو 11.
• العنصر الأول a هو 1 (لأننا بدأنا من أمي).
• نسبة التكرار r هي 3 (لأننا نتخطى 3 فتيات في كل رمية).

$S_{11} = 1 \left(\frac{3^{11} – 1}{3 – 1}\right)$

حسبنا القيمة ووجدنا أنها تساوي 88572.

ومن ثم، يعود النمط إلى البداية بعد مرور جميع العناصر، لذلك يتم إضافة رمية إضافية من قبل أمي. لدينا إجمالاً:

$S_{\text{total}} = S_{11} + 1 = 88572 + 1 = 88573$

إذاً، يحتاج الكرة لـ 88573 رمية لتعود إلى أمي.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تسلسل هندسي: استخدمنا معادلة تسلسل هندسي لحساب مجموع عناصر التسلسل.
2. قاعدة التكرار في الدوران: فهمنا أن النمط يتكرر كل 11 رمية بسبب عدد الفتيات.
3. رمية البداية: أضفنا رمية واحدة لأمي لأنها بدأت النمط.