نطاق دالة اللوغاريتمات المتعددة (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)=\log_2(\log_3(\log_4x))$ تحتوي على ثلاث دوال لوغاريتمية متداخلة. لحساب نطاق الدالة، نبدأ بتحديد القيم المسموح بها لكل دالة لوغاريتمية بداخل الأقواس.

لوغاريتم القاعدة 4 ($\log_4x$): يجب أن يكون $x > 0$ لأنه يجب أن تكون القيمة المدخلة للوغاريتم إيجابية.

لوغاريتم القاعدة 3 ($\log_3(\log_4x)$): يجب أن تكون قيمة $\log_4x$ موجودة في نطاق لوغاريتم القاعدة 3، وهذا يعني أن $\log_4x > 0$. لذا، $x > 1$.

لوغاريتم القاعدة 2 ($\log_2(\log_3(\log_4x))$): يجب أن تكون قيمة $\log_3(\log_4x)$ موجودة في نطاق لوغاريتم القاعدة 2، وهذا يعني أن $\log_3(\log_4x) > 0$. لذا، $\log_4x > 1$, أي $x > 4$.

بالمقارنة بين الشروط المتعلقة بكل لوغاريتم، نجد أن النطاق الكلي للدالة $f(x)$ هو $x > 4$.

لذا، النطاق المسموح به للدالة $f(x)$ هو جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من 4.

لحل مسألة تحديد نطاق الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$، نحتاج إلى فهم القوانين المتعلقة باللوغاريتم وكيفية تطبيقها على التعابير المتعددة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون اللوغاريتم للضرب والقسمة:
   ينص على أن $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$ و $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y)$.

2. قانون اللوغاريتم للأسس:
   يقول أن $\log_b(x^a) = a \cdot \log_b(x)$.

3. نطاق اللوغاريتم:
   للوغاريتم $\log_b(x)$، يجب أن يكون $x > 0$ لأنه لا يوجد لوغاريتم للأعداد السالبة أو الصفر.

4. قواعد النطاق:
   عند استخدام لوغاريتمات متعددة، يجب أن يتم الاهتمام بنطاق كل واحدة منها بشكل فردي.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على الدالة $f(x) = \log_2(\log_3(\log_4x))$:

أولاً، نراجع كل لوغاريتم على حدة:

• $\log_4x$: يجب أن يكون $x > 0$.
• $\log_3(\log_4x)$: يجب أن تكون قيمة $\log_4x > 0$، أي $x > 1$.
• $\log_2(\log_3(\log_4x))$: يجب أن تكون قيمة $\log_3(\log_4x) > 0$، أي $\log_4x > 1$، وبالتالي $x > 4$.

وبالتالي، نطاق الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية التي تكون أكبر من 4.

تمثل هذه القوانين والإجراءات الخطوات الأساسية لحل المسألة بشكل متكامل ودقيق. باستخدام هذه القوانين، يمكننا فهم وتحليل سلوك الدالة وتحديد نطاقها بدقة.