نسب المكعبات ومساحاتها السطحية (مسألة رياضيات)

نعطي أطوال حواف مكعبين بنسبة 6:1. لنحسب النسبة بين مساحتي سطحهما الكليتين.

لنفترض أن الطول الأول للمكعب هو 6x والثاني هو x.

المساحة الكلية لسطح المكعب تتبع الصيغة:

$\text{المساحة الكلية} = 6 \times (\text{الطول الجانبي})^2$

لذا، المكعب الأول:
$S_1 = 6 \times (6x)^2$

والمكعب الثاني:
$S_2 = 6 \times (x)^2$

النسبة بين المساحتين:
$\text{نسبة المساحة} = \frac{S_1}{S_2}$

$\text{نسبة المساحة} = \frac{6 \times (6x)^2}{6 \times (x)^2}$

نقلل العوامل المشتركة:
$\text{نسبة المساحة} = \frac{6 \times 36x^2}{6 \times x^2}$

نقلل 6 في البسط والمقام:
$\text{نسبة المساحة} = 36$

لذا، نسبة المساحة الكلية بين المكعبين هي 36:1.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم النسبة والعلاقات الهندسية بين أطوال حواف المكعبين. سنقوم بتطبيق القوانين التي تتعلق بمساحة سطح المكعب.

القانون الأول الذي سنستخدمه هو قانون حساب مساحة سطح المكعب. إذا كان لدينا مكعب بطول حافة $a$، فإن مساحة سطح المكعب تحسب بواسطة الصيغة:

$S = 6a^2$

الآن، إلينا المكعب الأول حيث النسبة بين أطوال الحواف هي 6:1. فلنفترض أن الحافة في المكعب الأول تكون $6x$ وفي المكعب الثاني تكون $x$.

لذا، مساحة سطح المكعب الأول $S_1$ هي:

$S_1 = 6 \times (6x)^2 = 216x^2$

ومساحة سطح المكعب الثاني $S_2$ هي:

$S_2 = 6 \times (x)^2 = 6x^2$

الآن، نحسب النسبة بين مساحتي السطح:

$\text{نسبة المساحة} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{216x^2}{6x^2} = 36$

إذاً، النسبة بين مساحتي سطح المكعبين هي 36:1.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب مساحة سطح المكعب: $S = 6a^2$
2. مفهوم النسبة بين أطوال الحواف.

تم استخدام هذه القوانين لحساب مساحة سطح المكعب وتحديد النسبة بين المساحتين باستخدام الأطوال المعطاة بنسبة معينة.