نسبة مساحة المنطقة I إلى III: حل وتوضيح (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة الرياضية:

ثلاث مناطق، I، II، و III، محصورة بواسطة مربعات. محيط المنطقة I يساوي 12 وحدة، بينما محيط المنطقة II يساوي 24 وحدة. ما هو النسبة بين مساحة المنطقة I ومساحة المنطقة III، مع التعبير عن الإجابة على شكل كس؟

الحل:

لنقم بتعيين الطول والعرض لكل منطقة. لنفرض أن طول وعرض المنطقة I يكونان l1 و w1 على التوالي، وطول وعرض المنطقة III يكونان l3 و w3 على التوالي.

للمنطقة I:
محيطها يساوي: 2(l1 + w1) = 12
تتبع:
l1 + w1 = 6

للمنطقة II:
محيطها يساوي: 2(l2 + w2) = 24
تتبع:
l2 + w2 = 12

الآن، نريد حساب النسبة بين مساحة المنطقة I ومساحة المنطقة III. مساحة المنطقة تحسب بالصيغة:
المساحة = الطول × العرض

لذلك، مساحة المنطقة I تساوي:
مساحة I = l1 × w1

ومساحة المنطقة III تساوي:
مساحة III = l3 × w3

الآن، كما أن l1 + w1 = 6، يمكننا استخدام هذا في الحسابات. لكننا بحاجة أيضاً إلى معرفة العلاقة بين l3 و w3.

لنحسب النسبة بين مساحة المنطقة I ومساحة المنطقة III:
النسبة = (l1 × w1) / (l3 × w3)

الآن، كما أن l1 + w1 = 6، يمكننا استخدام ذلك لتحديد قيمة l1 أو w1. لنفرض أن l1 = 6 – w1.

نعود إلى المعادلة الأصلية:
(6 – w1) + w1 = 6
نجد أن w1 = 3 وبالتالي l1 = 3.

الآن، لدينا معطيات كافية لحساب النسبة:
النسبة = (3 × 3) / (l3 × w3)

لكن لا يمكننا حل هذه المعادلة بدقة لأننا لا نعرف القيم الدقيقة لـ l3 و w3.

إذاً، النسبة بين مساحة المنطقة I ومساحة المنطقة III هي (3 × 3) / (l3 × w3)، ولكننا لا نستطيع تحديد القيم الدقيقة للنسبة دون مزيد من المعلومات حول المنطقة III.

في البداية، دعونا نعيد صياغة المعادلات التي تعبر عن المحيطات والمساحات، ونستخدم القوانين المستخدمة في الحل:

لنفرض أن الطول والعرض لكل منطقة هما l و w على التوالي. بناءً على البيانات المعطاة:

1. للمنطقة I:

   • محيط المنطقة I يساوي: $2(l + w) = 12$
   • يمكننا استخدام هذا للحصول على علاقة بين l و w: $l + w = 6$

2. للمنطقة III:

   • محيط المنطقة III يساوي: $2(l + w) = 24$
   • من هنا نحصل على: $l + w = 12$

القوانين المستخدمة:

• قانون حساب محيط المستطيل:
  $\text{Perimeter} = 2(\text{Length} + \text{Width})$

الآن، لنحسب النسبة بين مساحة المنطقة I ومساحة المنطقة III:

مساحة المنطقة I = $l \times w$

مساحة المنطقة III = $l \times w$

النسبة = $\frac{\text{مساحة I}}{\text{مساحة III}} = \frac{l \times w}{l \times w}$

لكن لا يمكننا تحديد القيم الدقيقة للنسبة بدون معرفة قيم l و w. نفرض $l + w = 6$ للمنطقة I و $l + w = 12$ للمنطقة III.

لدينا الآن معادلتين:

1. $l + w = 6$
2. $l + w = 12$

يبدو أن هناك خطأ في النهج السابق. دعونا نقوم بتصحيحه:

لنستخدم معلومات المحيط للمنطقتين:

1. للمنطقة I: $2(l + w) = 12$

   • يمكننا استخدامها للحصول على علاقة بين l و w: $l + w = 6$

2. للمنطقة III: $2(l + w) = 24$

   • من هنا نحصل على: $l + w = 12$

الآن نحن نملك نظامًا من المعادلات:

1. $l + w = 6$
2. $l + w = 12$

وهو نظام غير متسق، لأن الحلول لا تتطابق. إذا كنت قد قدمت هذا السيناريو لإظهار أهمية التحقق من المعلومات وتجنب الوقوع في تناقضات، فإن هذا يعكس فهمًا صحيحًا.