نسبة مساحة المربع إلى الدائرة في مسألة الحيطة (مسألة رياضيات)

مسألة:

إذا كانت محيط مربع معين يساوي محيط دائرة معينة، فما هو نسبة مساحة المربع إلى مساحة الدائرة، مع التعبير بكسر عشري مشترك بالنسبة إلى π؟

حل:

لنبدأ بتعريف بعض المتغيرات. لنفترض أن طول ضلع المربع هو “أ”، وبالتالي محيط المربع سيكون 4أ. على الجهة الأخرى، لنفترض أن نصف قطر الدائرة هو “ر”، وبالتالي محيط الدائرة سيكون 2πر.

الشرط الذي يُعطينا المعلومة هو أن محيط المربع يساوي محيط الدائرة، لذا:

$4أ = 2πر$

الآن، نحن بحاجة إلى العلاقة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة. مساحة المربع تُحسب بالتالي:

$مساحة المربع = أ^2$

ومساحة الدائرة تُحسب بالتالي:

$مساحة الدائرة = πر^2$

الآن، لنحسب النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة:

$\frac{مساحة المربع}{مساحة الدائرة} = \frac{أ^2}{πر^2}$

ومن المعروف أن $4أ = 2πر$، لذا يمكننا استبدال القيمة في النسبة:

$\frac{أ^2}{πر^2} = \frac{أ^2}{\frac{1}{2} \cdot (4أ)^2} = \frac{أ^2}{\frac{1}{2} \cdot 16أ^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

إذاً، النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة هي $\frac{1}{8}$ بالنسبة إلى π.

بالطبع، دعونا نوسع أكثر في تفاصيل الحل ونذكر القوانين المستخدمة.

1. تعريف المتغيرات:
   لنفترض أن طول ضلع المربع هو $أ$، ونصف قطر الدائرة هو $ر$.

2. حساب المحيط:
   المحيطات يمكن حسابها بالطريقة التالية:

   • محيط المربع: $4 \times \text{طول الضلع} = 4أ$.
   • محيط الدائرة: $2 \times π \times \text{نصف قطر} = 2πر$.

   وبما أن المحيطين متساويين: $4أ = 2πر$.

3. تحديد علاقة المساحة:

   • مساحة المربع: $أ^2$.
   • مساحة الدائرة: $πر^2$.

4. حساب النسبة:
   يتم حساب النسبة بين مساحة المربع ومساحة الدائرة على النحو التالي:
   $\frac{مساحة المربع}{مساحة الدائرة} = \frac{أ^2}{πر^2}$.

5. استبدال القيم:
   نستخدم المعلومة المعطاة $4أ = 2πر$ لتعويض قيمة $أ$ بالتالي:
   $\frac{أ^2}{πر^2} = \frac{أ^2}{\frac{1}{2} \times (4أ)^2} = \frac{أ^2}{\frac{1}{2} \times 16أ^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون المحيط:

   • للمربع: $4 \times \text{طول الضلع}$.
   • للدائرة: $2 \times π \times \text{نصف قطر}$.

2. قانون المساحة:

   • للمربع: $\text{طول الضلع}^2$.
   • للدائرة: $π \times (\text{نصف قطر})^2$.

3. قانون النسبة:
   $\frac{مساحة المربع}{مساحة الدائرة} = \frac{\text{طول الضلع}^2}{π \times (\text{نصف قطر})^2}$.

4. استبدال القيم:
   استخدام المعلومة المعطاة لتعويض القيم في الصيغ.

   باستخدام هذه القوانين، تم توضيح الحل بالتفصيل للوصول إلى النتيجة $\frac{1}{8}$ بالنسبة إلى π.